定积分计算技巧VIP专享

1 1. 定积分的几何意义 例 1. 2202xx dx=_________． 解法 1 由定积分的几何意义知，2202xx dx等于上半圆周22(1)1xy (0y ) 与 x 轴所围成的图形的面积．故2202xx dx= 2． 2. 利用积分不等式 例 1.求sinlimnpnnxdxx, ,p n 为自然数． 解法 利用积分不等式 因为 sinsin1lnnpnpnpnnnxxnpdxdxdxxxxn, 而 limln0nnpn,所以 sinlim0npnnxdxx． 例 2. 求10lim1nnxdxx． 解法 因为01x ，故有 01nnxxx． 于是可得 110001nnxdxx dxx． 又由于 1010()1nx dxnn ． 因此 10lim1nnxdxx= 0 ． 3.利用被积函数的奇偶性求定积分． 例 1. 计算2112211xx dxx． 分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 2112211xx dxx=211112221111xxdxdxxx．由于22211xx是偶函数，而211xx是奇函数，有112011xdxx, 于是 2 2112211xx dxx=2102411xdxx=22120(11)4xxdxx=11200441dxx dx 由定积分的几何意义可知12014x dx, 故 2111022444411xx dxdxx． 例2. 计算. 解 虽然在上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但我们可以利用得 原式 . 4.设 f(x)为周期函数且连续，周期为 T，则. 事实上 由于于是 例1.设表示距离 x 最近整数的距离，计算 解 由且为周期函数，周期为 1，于是 5 .利用积分中值定理 例1. 求sinlimnpnnxdxx, ,p n 为自然数． 3 解法 利用积分中值定理 设 sin( )xf xx, 显然( )f x 在[ ,]n np上连续, 由积分中值定理得 sinsinnpnxdxpx, [ ,]n np , 当n   时,    , 而sin1  , 故 sinsinlimlim0npnnxdxpx． 例2. 求10lim1nnxdxx． 解法 由积分中值定理 ( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx可知 101nxdxx=1011nx dx ，01 ． 又 101limlim01nnnx dxn且11121 ， 故 10lim01nnxdxx． 6 .利用适当变量变换求定积分 例1. 设f(x)在[0，1]上连续，计算 解 设于是 得 例2....