实变函数复习题

1.若 E 有界,则 m*E< 正无穷2.可数点集的外测度为零3.设 E 是直线上一有界集合,m*E> 0,则对任意小于 m*E 的正数 c,恒有 E 的子集 E1,使 m*E= c4.设 S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei 包含于 Si，i= 1，2，3...n，求证 m*（E1 并E2 并 E3...并 En）= m*E1+ m*E2+… +m*En5.若 m*E= 0，则 E 可测。6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为 07.设 A，B 包含于 Rp，且 m*B< 正无穷，若 A 是可测集，证明 m*（A 并 B）= mA+m*B-m*（A交 B）8.证明：若 E 可测，则对于任意 e〉0，恒有开集 G 及闭集 F，使 F 包含于 E 包含于 G，而 m（G-E）〈e，m（E-F）〈e9.设 E 包含于 Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得 An 包含于 E 包含于 Bn 且 m（Bn-An）-->0(n-->无穷)，则 E 可测。10.设 是一列可测集，证明 和 都是可测集 且11.设{En}是一列可测集，若求和 m（En）< 正无穷，证明 m（En 上极限）=012.设 E 是[0，1]中可测集，若 m（E）=1，证明对任意可测集 A 包含于[0，1]，m（E 交 A）=m（A）13.设{En}是[0，1]中可测集列，若 m（En）=1，n=1，2，...，则定理 5.6 设 E 是任一可测集，则一定存在 型集 G，使 G 包含 E，且 m（G-E）=0。设 E 是任一可测集，则一定存在 型集 F，使 F 包含于 E，且 m（E-F）=0。次可数可加性证明卡拉泰奥多里条件：m *T= m *（T 交 E）+ m *（T 交 Ec）极限的测度等于测度的极限1.证明：f（x）在 E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数 r，E[f〉r]可测，如果集 E[f=r]可测，问 f（x）是否可测？2.设{fn}为 E 上可测函数列，证明它的收敛点集和发散点集都是可测的。散点集也是可测的。3.设 E 是[0，1]中的不可测集，令问 f（x）在[0，1]上是否可测？|f（x）|是否可测？4.设 fn（x）（n=1，2，...）是 E 上 a.e.有限的可测函数列，而{fn}a.e.收敛于有限函数 f，则对任意的 e> 0 存在常数 c 与可测集 E0 包含于 E，m（E\E0）< e,使在 E0 上对一切 n 有|fn（x）|< =c.这里 mE< 无穷。6.设 f（x）是（负无穷，正无穷）上的连续函数，g（x）为[a，b]上的可测函数，则 f（g（x））是可测函数。7.设函数列 fn（x）（n=1，2，...）在有界集 E 上“基本上”一致收敛于 f（x），证明{fn}a.e.收敛于 f。，叶果洛夫逆定理8.试证明鲁津定理的逆定理成立。鲁津定理9.设函数列...