实验六窗函数及其对信号频谱的影响

实验六窗函数及其对信号频谱的影响 一. 实验目的 1. 掌握几种典型窗函数的性质、特点，比较几种典型的窗函数对信号频谱的影响。 2. 通过实验认识它们在克服 FFT 频谱分析的能量泄漏和栅栏效应误差中的作用，以便在实际工作中能根据具体情况正确选用窗函数 二. 实验原理 1. 信号的截断及能量泄漏效应 数字信号处理的主要数学工具是博里叶变换．应注意到，傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而，当运用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。 图 6.1 信号的周期延拓 周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号x(t)在时域分布为无限长(- ∞，∞)，当用矩形窗函数w(t)与其相乘时，得到截断信号xT(t) =x(t)w(t)。根据博里叶变换关系，余弦信号的频谱X(ω)是位于 ω。处的δ函数，而矩形窗函数w(t)的谱为 sinc(ω)函数，按照频域卷积定理，则截断信号xT(t) 的谱XT(ω) 应为： 将截断信号的谱XT(ω)与原始信号的谱X(ω)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱．这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在 f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。 信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数，所以即使原信号x(t)是限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题。 如果增大截断长度 T，即矩形窗口加宽，则窗谱 W(ω)将被压缩变窄（π／T 减小）。虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小。当窗口宽度 T 趋于无穷大时，则谱窗 W(ω)将变为 δ(ω)函数，而 δ(ω)与X(ω)的卷积仍为 X(ω)，这说明，如果窗口无限宽，即不截断，就不存在泄漏误差。 图 6.2 信号截断与能量泄露现象 为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函...