导数与函数的极值、最值考点与题型归纳 考点一 利用导数研究函数的极值 考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值 [例 1] 已知函数f(x)＝x－1＋aex(a∈R，e 为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值． [解] 由 f(x)＝ x－ 1＋ aex， 得 f′(x)＝ 1－ aex. ① 当 a≤0 时 ， f′(x)＞ 0， f(x)为 (－ ∞， ＋ ∞)上 的 增 函 数 ， 所 以 函 数 f(x)无 极 值 ． ② 当 a＞ 0 时 ， 令 f′(x)＝ 0， 得 ex＝ a， 即 x＝ ln a， 当 x∈(－ ∞， ln a)时 ， f′(x)＜0； 当 x∈(ln a， ＋ ∞)时 ， f′(x)＞ 0， 所 以 函 数 f(x)在(－ ∞， ln a)上 单调递减， 在(ln a， ＋ ∞)上 单调递增 ， 故函 数 f(x)在 x＝ln a 处取得 极 小值 且极 小值 为 f(ln a)＝ ln a， 无 极 大值 ． 综上 ， 当 a≤0 时 ， 函 数 f(x)无 极 值 ； 当 a＞ 0 时 ， 函 数 f(x)在 x＝ ln a 处取得 极 小值 ln a， 无 极 大值 ． [例 2] 设函数f(x)＝ln (x＋1)＋a(x2－x)，其中 a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由． [解] f′(x)＝1x＋ 1＋ a(2x－ 1)＝ 2ax2＋ ax－ a＋ 1x＋ 1(x＞ － 1)． 令 g(x)＝ 2ax2＋ ax－ a＋ 1， x∈(－ 1， ＋ ∞)． ① 当 a＝ 0 时 ， g(x)＝ 1， f′(x)＞ 0， 函 数 f(x)在(－ 1， ＋ ∞)上 单调递增 ， 无 极 值 点． ② 当 a＞ 0 时 ， Δ＝ a2－ 8a(1－ a)＝ a(9a－ 8)． 当 0＜a≤89时 ， Δ≤0， g(x)≥0， f′(x)≥0， 函 数 f(x)在(－ 1， ＋ ∞)上 单调递增 ， 无 极 值 点． 当 a＞ 89时 ， Δ＞ 0， 设方程 2ax2＋ ax－ a＋ 1＝ 0 的 两根为 x1， x2(x1＜x2)， 因 为 x1＋ x2＝ － 12， 所 以 x1＜ － 14， x2＞ － 14. 由 g(－ 1)＝ 1＞ 0， 可 得 － 1＜ x1＜ － 14. 所 以 当 x∈(－ 1， x1)时， g(x)＞ 0， f′(x)＞ 0， 函数 f(x)单调递增； 当 x∈(x1， x2)时， g(x)＜ 0， f′(x)＜ 0， 函数 f(x)单调递减； 当 x∈(x2， ＋ ∞)时， g(x)＞ 0， f′(x)＞ 0, 函数 f(x)单调递增． 因 此函数 f(x)有两个极值点． ③当 a＜ 0 时， Δ＞ 0， 由 g(－ 1)＝ 1＞ 0， 可 得 x1＜ －...
