导数与微分 引 言 导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。 求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念； 3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。 4． 可导与连续，可导与微分的关系。 § 1 导数的概念 教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。 教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义 出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。 教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 教学难点：导数的概念。 教学方法：讲授与练习。 学习学时：3 学时。 一、导数的定义： 1．引入（背景）： 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。 问题1 。直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为 )(tss ，若0t 为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。 取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在tt ,0或0,tt时间段的平均速度为：00 )()(tttstsv， 当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：00)()(lim0tttstsvtt。 问题2 。曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(xfy ，求此曲线在点),(00 yxP处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(yxQ，则割线 PQ的斜率为：00)()(tanxxxfxfk， 当Q 越接近于P ，割线 PQ斜率就越接近于曲线在点 P 处的斜率，于...
