导数中的零点问题 题型一:零点的基本解法(两种) 1、已知函数],1[,ln2)(22 eexmxxxxf有两个零点,求实数m 的取值范围. 2、已知函数 21xaxexfx (1)若ea ,求函数)(xf的极值; (2)若函数)(xf有两个零点,求实数a 的取值范围. 3、已知函数 xeaaexfxx22 (1)讨论 xf的单调性: (2)若 xf有两个零点,求a 的取值范围。 4、已知函数 )0(2212aexaxaxxfx (1)求函数 xf的单调区间; (2)若函数 xf存在 3 个零点,求a 的取值范围。 题型二:切线与零点关系 1、曲线3xy 在点 1,1处的切线方程为 ;过点 1,1处的切线方程为 。 2、已知函数),()(23Rnmnxmxxxf. (1)若 xf在1x处取得极大值,求实数m 的取值范围; (2)若0)1(f,且过点)1,0(p有且只有两条直线与曲线 )(xfy 相切,求实数m 的值. 3、已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值. (1)求函数 xf的解析式; (2)若过点),1( mA可作曲线 )(xfy 的三条切线,求实数m 的取值范围. 题型三:极值与零点关系 1、已知函数)(36)(23Rttxxxxf. (1)求函数 xf的单调区间; (2)设函数)()(xfxg有三个不同的极值点,求t 的取值范围. (3)设函数)()(xfexgx有三个不同的极值点,求t 的取值范围. 题型四:隐藏零点问题 1.(直接观察)求证:1ln xxx 2.已知0ln)1(axx恒成立,求实数a 的取值范围. 【名师点睛】如果导函数存在零点,但是令导数为零后,出现超越方程,直接求解比较困难,此时可先用特殊值试探出方程的一个根,再通过二次求导研究其单调性,并证明是唯一的. 一般地,导函数式含有ln x 时,可试根 1,e 或 1e 等,当导函数式含有xe 时可试根 0 或 1. 3.(虚设零点)设函数)0()1ln (1)(xxxxf,若1)( xkxf恒成立,求正整数k 的最大值. 变式 1 已知函数xxxfln)(.若k 为正整数,且kxkxf)1()(对任意1x 恒成立,求k 的最大值. 3.已知函数xxaxaxxfln)(2,且 0)(xf. (1)求a ;(2)证明: xf存在唯一的极大值点0x ,且2022)(xfe 4.已知)2ln ()(xexfx,求证: 0)(xf恒成立. 变式2. 已知函数)(ln)(Rxmxxxf. (1)若函数有两个零点,求m 的取值范围; (2)关于x的不等式0)2()(xexfxf在121,上恒成立, 求m 能取到的最小整数