导数及其应用

第一节 变化率与导数、导数的计算 考纲要求：1.了解导数概念的实际背景． 2． 理解导数的几何意义． 3． 能根据导数定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x 的导数． 4． 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 y ＝f(ax ＋b)的复合函数)的导数． 1． 导数的概念 (1)函数y ＝f(x )在x ＝x 0 处的导数 设函数y ＝f(x )， 当自变量x 从x 0 变到x 1 时， 函数值从f(x 0)变到f(x 1)， 函数值y 关于x 的平均变化率为ΔyΔx ＝fx 1－fx 2x 1－x 0＝fx 0＋Δx －fx 0Δx. 当x 1 趋于x 0， 即Δx 趋于0 时， 如果平均变化率趋于一个固定的值， 那么这个值就是函数y ＝f(x )在x 0 点的瞬时变化率．在数学中， 称瞬时变化率为函数y ＝f(x )在x 0 点的导数．通常用符号f′(x 0)表示， 记作 f′(x 0)＝limx 1→x 0 fx 1－fx 0x 1－x 0＝li mΔx →0 fx 0＋Δx －fx 0Δx. (2)导数的几何意义 函数y ＝f(x )在x 0 处的导数， 是曲线 y ＝f(x )在点(x 0， f(x 0))处的切线的斜率．函数y ＝f(x )在x 0 处切线的斜率反映了导数的几何意义． (3)函数的导函数 一般地，如果一个函数f(x )在区间(a，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为f′(x )：f′(x )＝li mΔx →0 fx ＋Δx －fx Δx， 则 f′(x )是关于x 的函数， 称f′(x )为f(x )的导函数， 通常也简称为导数． 2． 导数公式及运算法则 (1)导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝1xln a f(x)＝ln x f′(x)＝1x (2)导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； ②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ③fxgx ′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)． (3)复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)， u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′， 即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [自我查验] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”， 错误的打...