导数证明不等式题型全

导数题型一：证明不等式 不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。 一．构造形似函数型 例 1．求证下列不等式 （1）)1(2)1ln(222xxxxxx ),0(x（相减） （2）xx2sin )2,0(x（相除两边同除以 x 得 2sinxx） （3）xxxxtansin )2,0(x （4）已知：)0(x，求证xxxx11ln11；（换元：设xxt1） （5）已知函数( )ln(1)f xxx，1x   ，证明：11ln(1)1xxx 巩固练习： 1.证明1x时，不等式xx132 2.0x，证明： xe x 1 3.0x时，求证：)1ln (22xxx 4.证明: ).11(,32)1ln (32xxxxx 5.证明: 331anxxxt，)2,0(x. 二、需要多次求导 例 2.当)1,0(x时,证明:22)1(ln)1(xxx 例 3.求证:x ＞0 时,211x2xex  例 4.设函数 f(x )＝ln x ＋ 2a x 2－(a＋1)x (a>0，a 为常数)．若 a＝1，证明：当 x >1时，f(x )< 12 x 2－ 21xx  －x . 三、作辅助函数型 例 5.已知：a、b 为实数，且 b＞a＞e,其中 e 为自然对数的底，求证：ab＞ba. 例 6.已知函数 f(x )=ln (1+x )-x ,g(x )=x ln x , (i)求函数 f(x )的最大值； (ii)设 0