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导数隐零点问题常见方法汇总

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导数隐零点问题常见方法汇总 技巧一 虚设零点——媒介过渡 例 1.已知函数( )lnf xxx, (1)证明:1( )ef x≥; (2)已知函数2( )g xxxk ,若对区间 1 ,1e上任意 x 均有( )( )f xg x≤恒成立,求k的最大值. 解:(1)略(2)由题设条件知:2lnxxxxk≤在 1 ,1e上恒成立2lnkxxxx 在 1 ,1e上恒成立2minlnkxxxx≤. 令21( )ln,,1eh xxxxxx  ,则( )2lnh xxx ,11( )201hxxxe  ,即( )h x为减函数,又1110hee    ,(1)20h  . ( )h x在 1 ,1e上有唯一的零点0x ,且00ln2xx . 当01 ,xxe时( )0, ( )h xh x单调递增,当0,1xx时( )0h x, ( )h x 单调递减. min1( )min, (1)h xhhe,又21210eh ee , (1)0h. min( )0h x,所以0k ≤,故max0k≤. 例 2(19 课标 1)已知函数( )sinln(1),( )f xxxfx为( )f x 的导数. 证明: (1)( )fx在区间1, 2存在唯一极大值点; (2)( )f x 有且仅有 2 个零点. 解:(1)由题意知:( )f x 定义域为:( 1,)  且1( )cos1fxxx . 令211( )cos,1,( )sin,1,12(1)2g xxxg xxxxx   . 21(1)x在1, 2上单调递减,在1, 2上单调递减;( )g x在1, 2上单调递减, 又(0)sin 0110g   ,02244sin100,22(2)(2)2gx    ,使得 00gx,当01,xx 时,0( )0;, 2g xxx时,( )0g x,即( )g x 在01, x上递增;在0, 2x 上递减,则0xx为( )g x 唯一极大值点;即:( )fx在区间1, 2上存在唯一的极大值点0x . (2)由(1)知:1( )cos,( 1,)1fxxxx  . ①当( 1,0]x 时,由(1)可知( )fx在( 1,0]上单调递增,( )(0)0,( )fxff x≤在( ...

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