导数隐零点问题常见方法汇总

导数隐零点问题常见方法汇总 技巧一 虚设零点——媒介过渡 例 1．已知函数( )lnf xxx， （1）证明：1( )ef x≥； （2）已知函数2( )g xxxk ，若对区间 1 ,1e上任意 x 均有( )( )f xg x≤恒成立，求k的最大值． 解：(1）略（2)由题设条件知：2lnxxxxk≤在 1 ,1e上恒成立2lnkxxxx 在 1 ,1e上恒成立2minlnkxxxx≤． 令21( )ln,,1eh xxxxxx  ，则( )2lnh xxx ，11( )201hxxxe  ，即( )h x为减函数，又1110hee    ，(1)20h  ． ( )h x在 1 ,1e上有唯一的零点0x ，且00ln2xx ． 当01 ,xxe时( )0, ( )h xh x单调递增，当0,1xx时( )0h x， ( )h x 单调递减． min1( )min, (1)h xhhe，又21210eh ee ， (1)0h． min( )0h x，所以0k ≤，故max0k≤． 例 2(19 课标 1）已知函数( )sinln(1),( )f xxxfx为( )f x 的导数． 证明： （1）( )fx在区间1, 2存在唯一极大值点； （2）( )f x 有且仅有 2 个零点． 解：(1）由题意知：( )f x 定义域为：( 1,)  且1( )cos1fxxx ． 令211( )cos,1,( )sin,1,12(1)2g xxxg xxxxx   ． 21(1)x在1, 2上单调递减，在1, 2上单调递减；( )g x在1, 2上单调递减， 又(0)sin 0110g   ，02244sin100,22(2)(2)2gx    ，使得 00gx，当01,xx 时，0( )0;, 2g xxx时，( )0g x，即( )g x 在01, x上递增；在0, 2x 上递减，则0xx为( )g x 唯一极大值点；即：( )fx在区间1, 2上存在唯一的极大值点0x ． （2）由（1）知：1( )cos,( 1,)1fxxxx  ． ①当( 1,0]x 时，由（1）可知( )fx在( 1,0]上单调递增，( )(0)0,( )fxff x≤在( ...