1 全等三角形常见辅助线作法 【例1】．已知：如图6，△BCE 、△ACD 分别是以BE、AD 为斜边的直角三角形，且BEAD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形． 【例2】、如图，已知BC > AB，AD=DC。BD 平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°. 一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。 1、倍长中线法 【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C，30B，AD 平分BAC，交BC 于点D . 求证：2BDCD 证明：延长DC 到E，使得CE=CD,联结AE ∠ADE=60° AD=AE ∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC⊥CD ∴AD=DE CD=CE DB=DA ∴AD=AE ∴BD=DE ∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30° ∴DB=DA ∠ADE=60° 第 3 题 DCBADCBAE DCBEA 2 【例4 .】 如图，D 是ABC的边BC 上的点，且CDAB，ADBBAD ，AE 是ABD的中线。求证：2ACAE。 证明：延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF 在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDA BE =DE ∠ABE=∠FDE ∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE（SAS） 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC ∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF≌ ADC(SAS) ADBBAD ∴AF=AC ∴AC=2AE 【变式练习】、 如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。 【变式练习】：如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且AC=BF。 求证：AE=EF。 F EDCBA 3 OEDCBA2、运用角平分线构造全等 【例5】如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD 证明：在AC 上截取 AF=AE ,联结 OF 在△AOE 和△AOF 中 在△ABC 中，∠B+∠BAD+∠ACB=180° AE=AF ∠B =60 ° ∠EAO=∠FAO ∴∠BAD+∠ACB=120° AO = AO AD 平分∠BAC ∴△AOE ≌△AOF（ASA） 在△COD 和 △COF中 ∴∠BAC= 2∠OAC ∴∠AOE=∠AOE OE=OF ∠DCO =∠FCO CE 平分∠ACB ...
