微分动力系统的应用竞争模型

1 微分动力系统的应用(一)--竞争模型 设在一个池塘里饲养两种食用鱼：鳟鱼和鲈鱼. 设它们在时刻t 的尾数分别是x (t)和y (t). 假定鳟鱼的尾数x (t)的增长速度正比于鳟鱼尾数x (t), 增长率为k; 即 kxtx dd. (1) 由于鲈鱼的存在而争夺食物、减小了鳟鱼的增长率. 鲈鱼越多，鳟鱼的增长率越小，可设鳟鱼的增长率k = a – by , 其中 a>0, b>0 是常数. 因此我们可以写出如下的描述鳟鱼尾数的微分方程: xbyatx)(dd, 0x, 0y. (2) 同理由于鳟鱼的存在而争夺食物、减小了鲈鱼的增长率. 我们可得到描述鲈鱼尾数的微分方程: ynxmty)(dd, (3) 其中 m>0, n>0 是常数. 当鳟鱼的尾数x (t) > m/n, 鲈鱼的尾数 y (t)a/b 时, 由方程 (3)可见鲈鱼的尾数y 将增加, 由方程 (2)可见鳟鱼尾数x (t)将减少. 现在的问题是: 设在t=0 时鳟鱼和鲈鱼的初值分别是x 0 和y 0尾, 要研究这两种鱼的增长情况. 是否存在x 0>0 和y 0>0, 使得这两种鱼能够和平共处, 长期共存呢? 首先可见方程组 (2), (3)有常数解 2 baynmx,. (4) 因此在t=0 时鳟鱼x 0=m/n, 和鲈鱼y 0=a/b 尾时, 由方程可见鳟鱼和鲈鱼的增长速度是零, 所以鳟鱼和鲈鱼的尾数保持不变. 那么这种状态是否是稳定的呢? 就是说, 若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼是否还能和平共处, 长期共存呢? 由常微分方程的理论, 我们知道 (m/n, a/b) 是方程组的奇点, 我们只要分析这个奇点的稳定性就行了. 方程组(2),(3) 的向量场的Jacobi 矩阵在奇点(m/n, a/b)的值是 00bnanbmnxmnybxbyaJ (5) J 的两个特征值为 ma, 因此奇点是鞍点, 鞍点是不稳定的. 所以若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼的尾数将有大的变化. 方程组(2), (3)还有一个奇点 (0, 0), 向量场的Jacobi 矩阵在奇点(0, 0)的值是 manxmnybxbyaJ00 (6) J 的两个特征值为a>0, m>0, 因此奇点(0, 0)是不稳定的结点. 在奇点(0, 0) 附近的轨线当时间 t 增大时都离开奇点(0,0). 另外方程组 (2), (3) 有两条半直线轨道: (1): x =0, y >0, 对应的轨线是 mtyye0,...