微积分常微分方程解题方法

北京理工大学 微积分-常微分方程解法 常微分方程各种解题方法 程功 2011/2/16 1 1.几个基本定义 （1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数 分类2: 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程( , ,)0,F x y y ( , );yf x y  高阶 n 微分方程( )( , ,,,)0,nF x y yy( )(1)( , ,,,).nnyf x y yy 分类3: 线性与非线性微分方程.( )( ),yP x yQ x 2()20;x yyyx 分类4: 单个微分方程与微分方程组.32 ,2,dyyzdxdzyzdx （2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 微分方程的解的分类： ① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 . ,yy 例;xyCe通解 0,yy 12sincos ;yCxCx通解 ② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （3）解的图象 : 微分方程的积分曲线. 通解的图象 : 积分曲线族 . （4）初始条件 : 用来确定任意常数的条件 . 初值问题 : 求微分方程满足初始条件的解的问题. 一阶:00( , )x xyf x yyy 过定点的积分曲线; 二阶:0000( , ,),x xx xyf x y yyyyy过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 2.可分离变量的微分方程 可分离变量微分方程的形式( )( )g y dyf x dx44225522,dyx yydyx dxdx例如 解法：设函数( )g y 和( )f x 是连续的,( )( )g y dyf x dx设函数( )G y 和( )F x 是依次为( )g y 和( )f x 的原函数, ( )( )G yF xC为微分方程的解. 2 3.齐次方程 形如( )dyyfdxx的微分方程称为齐次方程. 解法：作变量代换,yux,yxu即,dyduuxdxdx 代入原式( ),duuxf udx 即 ( ).duf uudxx（可分离变量的方程） （1）( )0,f uu当时1ln,( )duC xf uu 得 ),uxCe即( )( )duuf uu（）,yux将代入(),yxxCe得通解 （2）0,u当00()0,f uu使0,uu则是新方程的解,代回原方程 0 .yu x得齐次方程的解 4...