2025年高中数学竞赛知识点资料

高中数学竞赛知识点数学均值不等式被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。其中：，被称为调和平均数。，被称为几何平均数。，被称为算术平均数。，被称为平方平均数。一般形式 设函数（当 r 不等于 0 时）；（当 r=0时），有时，。可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特殊情形，即。特例 ⑴ 对实数 a,b，有（当且仅当 a=b 时取“=”号），（当且仅当 a=-b 时取“=”号）⑵ 对非负实数 a,b，有，即⑶ 对非负实数 a,b，有⑷ 对实数 a,b，有⑸ 对非负实数 a,b，有⑹ 对实数 a,b，有⑺ 对实数 a,b,c，有⑻ 对非负数 a,b，有⑼ 对非负数 a,b,c，有在几种特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM 不等式）：当 n=2 时，上式即：当且仅当时，等号成立。根据均值不等式的简化，有一种简单结论，即。排序不等式基本形式：排序不等式的证明要证只需证根据基本不等式只需证∴原结论对的棣莫弗定理设两个复数（用三角形式表达），则：复数乘方公式：.圆排列定义从 n 个不一样元素中不反复地取出 m（1≤m≤n）个元素在一种圆周上，叫做这 n 个不一样元素的圆排列。假如一种 m-圆排列旋转可以得到另一种 m-圆排列，则认为这两个圆排列相似。计算公式n 个不一样元素的 m-圆排列个数 N 为：尤其地，当 m=n 时，n 个不一样元素作成的圆排列总数 N 为：。费马小定理 费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一种重要定理，其内容为： 假如 p 是质数，且(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如 a 是整数，p 是质数，且 a,p 互质(即两者只有一种公约数 1)，那么 a 的(p-1)次方除以 p 的余数恒等于 1。组合恒等式组合数 C(k,n)的定义：从 n 个不一样元素中选用 k 个进行组合的个数。基本的组合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)∑C(i,n)=2^n∑[(-1)^i]*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n)韦达定理逆定理 假如两数 α 和 β 满足如下关系：α+β=，α·β= ，那么这两个数 α 和 β 是方程的根。通过韦达定理的逆定理，可以运用两数的和积关系构造一元二次方程。[5]...