2025年高中数学竞赛平面几何定理证明大全备课讲稿

高中数学竞赛平面几何定理证明大全Gerrald 加油 坚持住Gerrald 加油 坚持住Gerrald 加油 坚持住莫利定理：将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一种正三角形。 設△ABC 中的∠B,∠C 的两条三等分角线分別交于 P, D 两个点（图 1），按照莫利定理，D 是莫莱三角形的一個頂点，当然 D 就是△BPC 的內心，因為 BD, CD 恰好是∠CBP, ∠BCP 的角平分线。莫利三角形的另两个頂点 E, F 应当分別落在 CP 和 BP 上，因此我们产生了一种念头，假如能夠在 CP, BP 上找到 E, F 这两个点，使△DEF 是个正三角形，再证 AE、AF 恰好是∠BAC 的三等分线就行了为此，先把 DP 连起來，在 CP, BP 上分別取两点 E, F 使∠EDP＝∠FDP＝30°,于是就得到一种三角形△DEF。为何它是一种正三角形呢？由于 D 是△BPC的內心，因此 DP 是∠BPC 的角平分线，即∠DPE＝∠DPF，由作图知∠EDP＝∠FDP＝30°,在△DPE 和△DPF 中，DP 是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，因此△DPE≌△DPF。于是 DE＝DF,即△DEF 是个等腰三角形，它的腰是 DE和 DF，而它的頂角又是 60°，因此它当然是个正三角形。接下來，我们的目的就是但愿能证明△DEF 真的是莫利三角形，亦即 AE, AF 确实会三等分∠BAC。如图 2 所示，在 AB, AC 上各取一点 G,H,使得 BG＝BD, CH＝CD，把 G、 F、E、H 各点依次连起來，根据△BFD≌△BFG，△CED≌△CEH，我们就得到 GF＝FD＝FE＝ED＝EH。下面，假如能夠证明 G,F,E,H，A 五点共圆，則定理的证明就完毕了，由于∠GAF,∠FAE,∠EAH 这三个圆周角所对的弦 GF, FE, EH 都等長，因而这三个圆周角也就都相等了。为了证明 G,H,E,F，A 共圓，必须证明∠FGE＝∠FHE＝∠A/3。看图 2，首先我们注意到△GFE 是个等腰三角形，∠GFE 是它的顶角，假如这个角能求出來，其底角∠FGE 也就能求出来了。△PFE 也是一种等腰三角形，这是由于△PDF≌△PDE，（PD 是公用边，∠DPF＝∠DPE，∠PDF＝∠PDE＝30°），因此 PF=PE。等腰三角形△PFE 的顶角大小为：∠FPE=π-2/3（∠ABC+∠ACB）=π-2/3（π-∠BAC）=π/3+2/3∠BAC……………………………（1）∠BFD=∠PDF+∠DPF=π/6+1/2∠FPE=π/6+π/6+1/3∠BAC=π/3+1/3∠BAC…………………… （2） ∠GFE=2π-∠EFD-2∠BFD=2π-π/3-2π/3-2∠BAC/3=π-2/3∠BAC………………………… （3）最终得到：∠FGE=∠FE...