高中数学竞赛平面几何定理证明大全Gerrald 加油 坚持住Gerrald 加油 坚持住Gerrald 加油 坚持住莫利定理:将任意三角形的各角三等分,则每两个角的相邻三等分线的交点构成一种正三角形。 設△ABC 中的∠B,∠C 的两条三等分角线分別交于 P, D 两个点(图 1),按照莫利定理,D 是莫莱三角形的一個頂点,当然 D 就是△BPC 的內心,因為 BD, CD 恰好是∠CBP, ∠BCP 的角平分线。莫利三角形的另两个頂点 E, F 应当分別落在 CP 和 BP 上,因此我们产生了一种念头,假如能夠在 CP, BP 上找到 E, F 这两个点,使△DEF 是个正三角形,再证 AE、AF 恰好是∠BAC 的三等分线就行了为此,先把 DP 连起來,在 CP, BP 上分別取两点 E, F 使∠EDP=∠FDP=30°,于是就得到一种三角形△DEF。为何它是一种正三角形呢?由于 D 是△BPC的內心,因此 DP 是∠BPC 的角平分线,即∠DPE=∠DPF,由作图知∠EDP=∠FDP=30°,在△DPE 和△DPF 中,DP 是公共边,而夹此边的两角又是对应相等的,因此△DPE≌△DPF。于是 DE=DF,即△DEF 是个等腰三角形,它的腰是 DE和 DF,而它的頂角又是 60°,因此它当然是个正三角形。接下來,我们的目的就是但愿能证明△DEF 真的是莫利三角形,亦即 AE, AF 确实会三等分∠BAC。如图 2 所示,在 AB, AC 上各取一点 G,H,使得 BG=BD, CH=CD,把 G、 F、E、H 各点依次连起來,根据△BFD≌△BFG,△CED≌△CEH,我们就得到 GF=FD=FE=ED=EH。下面,假如能夠证明 G,F,E,H,A 五点共圆,則定理的证明就完毕了,由于∠GAF,∠FAE,∠EAH 这三个圆周角所对的弦 GF, FE, EH 都等長,因而这三个圆周角也就都相等了。为了证明 G,H,E,F,A 共圓,必须证明∠FGE=∠FHE=∠A/3。看图 2,首先我们注意到△GFE 是个等腰三角形,∠GFE 是它的顶角,假如这个角能求出來,其底角∠FGE 也就能求出来了。△PFE 也是一种等腰三角形,这是由于△PDF≌△PDE,(PD 是公用边,∠DPF=∠DPE,∠PDF=∠PDE=30°),因此 PF=PE。等腰三角形△PFE 的顶角大小为:∠FPE=π-2/3(∠ABC+∠ACB)=π-2/3(π-∠BAC)=π/3+2/3∠BAC……………………………(1)∠BFD=∠PDF+∠DPF=π/6+1/2∠FPE=π/6+π/6+1/3∠BAC=π/3+1/3∠BAC…………………… (2) ∠GFE=2π-∠EFD-2∠BFD=2π-π/3-2π/3-2∠BAC/3=π-2/3∠BAC………………………… (3)最终得到:∠FGE=∠FE...