2025年《复数》知识点总结

《复数》知识点总结1、复数的概念形如的数叫做复数，其中 叫做虚数单位，满足，叫做复数的实部，叫做复数的虚部.(1)纯虚数：对于复数，当时，叫做纯虚数.(2)两个复数相等：相等的充要条件是.(3)复平面：建立直角坐标系来表达复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴.(4)复数的模：复数可以用复平面内的点表达，向量的模叫做复数的模，表达为：（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.2、复数的四则运算 （1）加减运算：； （2）乘法运算：； （3）除法运算：； （4） 的幂运算：，，，. （5）3、 规律措施总结 （1）对于复数必须强调均为实数，方可得出实部为，虚部为 （2）复数是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要措施．对于一种复数，既要从整体的角度去认识它，把复数当作一种整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识 （3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分. （4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的某些运算性质、概念、关系就不一定合用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等 1、基本概念计算类例 1．若且为纯虚数，则实数 a 的值为_________解：由于，＝，又为纯虚数，因此，3a－8＝0，且 6＋4a0。2、复数方程问题例 2．证明：在复数范围内，方程（i 为虚数单位）无解证明：原方程化简为设 z＝x＋yi(x、y)，代入上述方程得 整理得方程无实数解，因此原方程在复数范围内无解。3、综合类例 3．设 z 是虚数，是实数，且－1<<2（1）求|z|的值及 z 的实部的取值范围；（2）设，求证：M 为纯虚数；（3）求的最小值。解：（1）设 z＝a＋bi（a，b） 由于，是实数，因此，，即|z|＝1， 由于＝2a，－1<<2，因此，z 的实部的取值范围（－）（2）＝（这里运用了（1）中）。 由于 a（－），，因此 M 为纯虚数（3） 由于，a（－），因此，a＋1>0， 因此2×2－3＝1，当 a＋1＝，即 a＝0 时上式取等号， 因此，的最小值是 1。4、创新类例 4．对于任意两个复数)定义运算“⊙”为⊙＝，设非零复数在复平面内对应的点分别为,点 O 为坐标原点，若⊙＝0，则在中，的大小为_________.解 法 一 ： （ 解 析 法 ） 设， 故 得 点，，且＝0，即从而有＝ 故,也即解法二：（用复数的模）同法一的假设，知＝＋－2（）＝＋－2×0＝＋＝＋由勾股定理的逆定理知解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知，则有 故