2025年试题题库—立体几何基础题题库有详细答案全案

立体几何基础题题库四（有详细答案）301. 正三棱柱 ABC—A1B1C1的侧面三条对角线 AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1.求证：AB1⊥CA1.解析：措施 1 如图，延长 B1C1到 D，使 C1D＝B1C1.连 CD、A1D.因 AB1⊥BC1，故 AB1⊥CD；又B1C1＝A1C1＝C1D，故∠B1A1D＝90°，于是 DA1⊥平面 AA1B1B.故 AB1⊥平面 A1CD，因此AB1⊥A1C.措施 2 如图，取 A1B1、AB 的中点 D1、P.连 CP、C1D1、A1P、D1B，易证 C1D1⊥平面 AA1B1B.由三垂线定理可得 AB1⊥BD1，从而 AB1⊥A1D.再由三垂线定理的逆定理即得 AB1⊥A1C.阐明 证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列措施：(1)运用线面垂直的定义；(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；(3)证明直线平行于平面的垂线；(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.302. 已知：正三棱柱 ABC—A′B′C′中，AB′⊥BC′，BC＝2，求：线段 AB′在侧面上的射影长.解析： 如图，取 BC 的中点 D. AD⊥BC，侧面⊥底面 ABC，∴AD⊥侧面是斜线 AB′在侧面的射影.又 AB′⊥BC′，∴⊥BC′.设 BB′＝x，在 RtΔ中，BE∶BD＝，＝. E 是 ΔBB′C 的重心.∴BE＝BC′＝∴x＝·，解得：x＝.∴线段 AB′在侧面的射影长为.303. 平面 α 外一点 A 在平面 α 内的射影是 A′，BC 在平面内，∠ABA′＝θ，，∠ABC＝，求证:cosγ＝cosθ·cosβ.解析： 过 A′作⊥BC 于 C′，连 AC′. AA′⊥平面 α，BC 垂直 AC 在平面 α 内的射线.∴BC′⊥AC′，cos＝.又 cosθ＝,cosβ＝，∴cos＝cosθ·cosβ.304. ΔABC 在平面 α 内的射影是 ΔA′B′C′，它们的面积分别是 S、S′，若 ΔABC 所在平面与平面 α 所成二面角的大小为 θ(0＜θ＜90°＝，则 S′＝S·cosθ.证法一 如图(1)，当 BC 在平面 α 内，过 A′作 A′D⊥BC，垂足为 D. AA′⊥平面 α，AD 在平面 α 内的射影 A′D 垂直 BC.∴AD⊥BC.∴∠ADA′＝θ.又 S′＝A′D·BC，S＝AD·BC，cosθ＝,∴S′＝S·cosθ.证法二 如图(2)，当 B、C 两点均不在平面 α 内或只有一点(如 C)在平面 α 内，可运用(1)的结论证明 S′＝S·cosθ.305. 求证：端点分别在两条异面直线 a 和 b 上的动线段 AB 的中点共面.证明 如图，设异面直线 a、b 的公垂线段是 PQ，PQ 的中点是 M，过 M 作平面 α，使 PQ⊥平面 α，且和 AB 交于 R，连结 AQ，交平面 α 于 N.连结...