- 1 - 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1 ．比较大小 例1 已知函数2( )f xxbxc满足(1)(1)fxfx，且(0 )3f，则()xf b与()xf c的大小关系是_ _ _ _ _ ． 分析：先求bc，的值再比较大小，要注意xxbc，的取值是否在同一单调区间内． 解： (1)(1)fxfx， ∴函数( )f x的对称轴是1x ． 故2b ，又(0 )3f，∴3c ． ∴函数( )f x在1，∞上递减，在1 ，∞ 上递增． 若0x ≥，则321xx≥≥ ，∴(3 )(2 )xxff≥； 若0x ，则321xx，∴(3 )(2 )xxff． 综上可得(3 )(2 )xxff≥，即()()xxf cf b≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2 ．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)xxaaaa，则x 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解： 2225(1)441aaa≥， ∴函数 2(25)xyaa在()，∞∞ 上是增函数， ∴31xx ，解得14x ．∴x 的取值范围是14，∞ ． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3 ．求定义域及值域问题 例3 求函数216 xy的定义域和值域． 解：由题意可得2160x ≥，即261x ≤ ， ∴20x ≤，故2x ≤． ∴函数( )f x的定义域是2，∞． 令26 xt，则1yt， 又 2x ≤，∴20x ≤． ∴ 2061x ≤ ，即 01t ≤ ． ∴011t ≤，即 01y ≤． ∴函数的值域是 0 1，． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4 ．最值问题 - 2 - 例4 函数221(01)xxyaaaa且在区间[ 11] ，上有最大值14，则a 的值是_______． 分析：令xta可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围． 解：令xta，则0t ，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为1t ． ∴当1a 时， ...
