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200９-20１1年1６8自主招生试题及答案2011年合肥1６８中学自主招生数学试题及答案一、选择题3、已知：ｙ=1/2(x的平方-100x+１96+|x的平方-100x+１96|）,当ｘ=１，2，到1０0,求这１00个自然数的和的函数值解法一：对于函数x＾2－１00x+１96，它可因式分解为(x-2)(x-９8),所以当ｘ=2x＝98时,这个函数为0当2所以当ｘ=２、3、、４、……、9８时，ｙ都为0当x=0时,y=１/2*（196＋19６)=1９６该函数的抛物线为x=５0,所以ｘ=1和x=９9的值相等,当x=1时，y＝1^2－10０＋19６＝97所以这１0０个自然数的值为1９６＋97*２=390解法二：当2≤x≤98时,因为x^2-10０x＋1９6=（x-２)*（ｘ-98)≤0，所以恒有y=[x^2-10０x＋196-(x^2-1００x+１9６）]/2＝0，当ｘ＝1,99,100时，y＝[x^2-100ｘ+196+（ｘ＾2-100x＋196）]／2＝x^2－100ｘ+196。y(１)=y(９9）=97,y（1０0)＝１9６。所以:y(1)+ｙ(2)+y(3）+y(4)+……+ｙ(9７)+ｙ(９8)+y(９9)+y(100=97+0+０+0+……＋0+0+9７+１９6＝390。５、设ａ平方+１=3a,b平方+1=3b,且a不等于b,则代数式1／a平方+1/b平方的值是解：a²+１=3a，b²＋1=3b,则：a、ｂ是方程x²＋1=3ｘ即x²－３x+１＝0的两个根，则:ａ+b=3且ａb=11／a²＋1／b²=［a²+b²]/(ａｂ)²=［（ａ+b）²－2ab]/(ab)²=７６、如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时,则这个圆共转了(）解:小球周长和三角形边长相等，因此在每条边转动了３６0°（即转１圈）三条边一共３圈。每经过一个顶点,需要转１20°:１８0－60=１２0°三个顶点一共多转了１20＊3＝3６0°，即1圈因此，一共转了4圈,(或者1440°7、如图，等边△ABC的边长为1０ｃm,以AＢ为直径的⊙O分别于，CA,CB于DＥ两点，则图中阴影部分的面积为解：解: △ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=60°又 AB是⊙O的直径,∴ＡＯ＝ＡＤ＝ＤO=BO=BE=EO=1/2AB=5∴∠DＯE=６0°∴Ｓ⊿AＤO＋S⊿ＢEO＝２×(１／2)×5×(５/２)√3＝(２5／２)√３Ｓ扇形ODE=（60°／３6０°)×π×5²＝（25／６)π又 S⊿ABC=(1/2）×10×5√3＝25√３∴阴影部分的面积为:S⊿ABC-S⊿ＡDO－Ｓ⊿BＥO-S扇形ＯDE=25√3－（２5/2)√3－（25／6)π＝(2５/2)√3－（25/6）π８、如图,在正方形ＡＢＣD中,Ｎ是DＣ的中点，M是AＤ上异于D点的任一点,且∠NＭＢ＝∠MBC,求tan∠ＡBＭ的值解:过点N作直线ＮO平行于MB，交BＣ于点Ｏ ∠ＮMＢ=∠MBC，ＮOM‖Ｂ∴四边形ＢＭＮO为等腰梯形∴BＯ＝MN N是DC的中点∴ＢO²=MN²=DＭ²＋DＮ²=(AB-ＡM)²+(ＡB/2）² NＯ‖MB，AＤ‖ＢＣ∴∠AMB=∠MBC=∠ＮOC∴⊿AＭB∽⊿CＯN∴OC/CN=AM/AＢ=(ＡB－ＢＯ)／（AB/2∴BO＝AB-AM/2得到方程式AB-ＡM)²＋(ＡB／2）²=（ＡB－AＭ／２)²解方程得:ＡＢ²-2*AB*ＡM+ＡM²+AＢ²/4=AB²－AB*ＡＭ＋AM²/4ＡB²/4-AB*AＭ+3／4＊AM²=０ＡB/2-3/２＊AM)(AB/２－AＭ／2)=0AB=AＭ或AB=3AM AB=ＡＭ时Ｍ重合于D，不合题意。∴AB=3AM∴tan∠ABM=AM/ＡB=1/3二、填空题10.若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．解不等式１得x解不等式2得x>2-3a结合两解得2-3a而x有四个整数解,观察上式可知，这四个整数解为20、19、1８、１7，所以1６-51１.在等腰直角三角形ABC中,AＢ=BC=5,P是三角形ABC内一点,且PＡ=根号５,ＰC=５，则ＰＢ＝?作ＰH⊥AＣ，ＢＧ⊥AＣ，垂足Ｈ,G,PI⊥BＧ，垂足Ｉ， △ABC是等腰RT△,∴AC=√２AB=5√2,在△PAC中，根据勾股定理，PA^2-ＡH^2=PＣ＾2-CH^2=ＰH^２5－ＡＨ^2=5^2-(５√2-ＡH)^2，∴AH=3√2/2， AG=AC/2=5√2/2,∴HＧ=AG-AH=√2，PＨ=√（PA^2-AH^2)=√2/2， BG＝AＣ/2=５√2/2, 四边形PHIG是矩形，∴ＩG=PH＝√２／2，PI=HＧ＝√２,BI=ＢG－IG＝BG-PH＝2√2，在ＲT△BPI中，根据勾股定理，PB＾2=ＢＩ^２+PI^2=8+２＝1０,∴PＢ=√１０。12、已知圆环的内直径为aｃm,外直径为bcｍ,将５０个这样的圆环一个接一个环套环地连成锁链如图1,单位；cm,那么这条锁链拉直的长度是多少厘米?５0个内径共5０acm,外加两边两个外径（b-a)cm，共５0a＋b-a=49a+ｂ（cm)。１3．下面是按照一定规律画...