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排列组合问题的基本类型及解题方法

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1 排列组合问题的基本类型及解题方法 解决排列组合问题要讲究策略,首先要认真审题,弄清楚是排列(有序)还是组合(无序),还是排列与组合混合问题。其次,要抓住问题的本质特征,准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题,分类必须满足两个条件:①类与类必须互斥(不相容),②总类必须完备(不遗漏);乘法原理的特征是分步解决问题,分步必须做到步与步互相独立,互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略,在实际操作中往往是“步”与“类”交叉,有机结合,可以是类中有步,也可以是步中有类。 以上解题思路分析,可以用顺口溜概括为:审明题意,排(组)分清;合理分类,用准加乘;周密思考,防漏防重;直接间接,思路可循;元素位置,特殊先行;一题多解,检验真伪。 ( 一 ) 特 殊 元 素 的 “优先安排法” 对 于 特 殊 元 素 的 排 列 组 合 问 题 , 一 般 先 考 虑 特 殊 元 素 , 再 考 虑 其 他 元 素 的 安 排 。在 操 作 时 , 针 对 实 际 问 题 , 有 时 “元 素 优先 ”, 有 时 “位置优先 ”。 例1: 0,2,3,4,5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有几个? 解法一:(元素优先)分两类:第一类,含0 ,0 在个位有24A种,0 在十位有1123A A 种;第二类,不含0 ,有1223A A 种。 故共有2111242323(AA A )+A A30种。 注:在 考 虑 每一 类时 , 又要优先 考 虑 个位。 解法二:(位置优先)分两类:第一类,0 在个位有24A种;第二类,0 不在个位,先从 两个偶数中选 一个放 个位,再 选 一个放 百 位,最后 考虑 十位,有111233A A A 种。 故共有21114233A +A A A =30 ( 二) 总体淘汰法 对 于 含有 否定词语的 问 题 , 还可以从总体中把不符合 要求的 除去, 此时 应注意既不能多减也不能少减, 例如 在例1中也可以用此 法解答 :5个数字组成三位数的全 排列为35A ,排好 后 发 现 0 不能 在首位,而 且 3和 5不能 排在末 尾 ,这两种不合题意的排法要除 去 ,故有30个偶数. ( 三) 合理分类与准确分步 解含有 约束条件的 排 列 组 合 问 题 , 应按元 素 的 性质进行分类, 事情的 发生的 连续过程分步, 做到分类标准明确, 分布层次清楚, 不重不漏. 例2...

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