二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义:一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.2.二次函数y=ax2的性质(1)抛物线y=ax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴．(2)函数y=ax2的图像与a的符号关系．①当a>0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a<0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．（３)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y=ax2（a≠0）.３.二次函数y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合)y轴的抛物线．4．二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成:y=a(x−h)2+k的形式，其中h=−b2a，k=4ac−b24a.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:①y=ax2;②y=ax2+k；③y=a(x−h)2;④y=a(x−h)2+k；⑤y=ax2+bx+c.6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点．①a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时,开口向上;当a<0时，开口向下;|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地,y轴记作直线x=0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(１)公式法：y=ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac−b24a,∴顶点是（−b2a，4ac−b24a）,对称轴是直线x=−b2a.（2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x−h)2+k的形式得到顶点为（h，k),对称轴是直线x=h.(３）运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失．9．抛物线y=ax2+bx+c中,a,b,c的作用(１)a决定开口方向及开口大小,这与y=ax2中的a完全一样.（２）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−b2a,故:①b=0时,对称轴为y轴;②ba>0(即a、b同号）时,对称轴在y轴左侧;③ba<0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.（3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.当x=0时，y=c，∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c)：①c=0，抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴;③c<0,与y轴交于负半轴．以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立．如抛物线的对称轴在y轴右侧，则ba<0．10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当a>0时开口向上当a<0时开口向下x=0（y轴)（0，０)x=0(y轴）(0，k)(h，０)（h,k）(−b2a，4ac−b24a)1１.用待定系数法求二次函数的解析式(1）一般式：y=ax2+bx+c．已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式．(2)顶点式:y=a(x−h)2+k．已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式．(3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a(x−x1)(x−x2).１2.直线与抛物线的交点（1)y轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为(0，c).（2)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点（h,ah2+bh+c).(3)抛物线与x轴的交点二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上)⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根.(5）一次函数y=kx+n(k≠0)的图像l与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像G的交点,由方程组y=kx+ny=ax2+bx+c的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时⇔l与G有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l与G只有一个交点;③方程组无解时⇔l与G没有交点．（６）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x1，0)，B(x2，0)，由于x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根,故第二部分典型习题１．抛物线ｙ＝x２＋2ｘ－2的顶点坐标是(Ｄ）Ａ.（2,－２）B.（1,-２)C.（1，－３)D.（-1,-3)2.已知二次函数y=...
