第24讲分离变量法第4章介质中的电动力学（4）§4.4拉普拉斯方程分离变量法以上两节给出静电问题的一般公式，并说明静电学的基本问题式求解满足给定边界条件的泊松方程的解。只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同的解法。在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜内部电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其它自由电荷分布。因此，如果我们选择这些导体表面作为区域V的边界，则在V内部自由电荷密度ρ=0，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace）方程（4.4---1）产生这电场的电荷都分布于区域V的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解。（4.4---1）式的通解可以用分离变量法求出。先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。球坐标用（R，θ，φ）表示，R为半径，θ为极角，φ为方位角。拉氏方程在球坐标系中的通解为（4.4---2）式中anm,bnm,cnm和dnm为任意常数，在具体问题中有边界条件定出PCombin（cosθ）为缔和勒让德（Legendre）函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴则电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为（4.4---3）Pn（cosθ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。在每一个没有电荷分布的区域内，φ满足拉普拉斯方程，其通解已由（4.4---2）或（4.4---3）式给出，剩下的问题就是由边界条件确定这些通解中所含的任意常数，得到满足边界条件的特解。下面举一些具体例子说明定特解的办法。例1一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1
