一、 材料非线性问题的有限单元法 1 ．1 引 言 以前各章所讨论的均是线性问题。线弹性力学基本方程的特点是 1 ．几何方程的应变和位移的关系是线性的。 2 ．物性方程的应力和应变的关系是线性的。 3 ．建立于变形前状态的平衡方程也是线性的。 但是在很多重要的实际问题中，上述线性关系不能保持。例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。又如长期处于高温条件下工作的结构，将发生蠕变变形，即在载荷或应力保持不变的情况下，变形或应变仍随着时间的进展而继续增长，这也不是线弹性的物性方程所能描述的。上述现象都属于材料非线性范畴内所要研究的问题。工程实际中还存在另一类所谓几何非线性问题。例如板壳的大挠度问题，材料锻压成型过程的大应变问题等，这时需要采用非线性的应变和位移关系，平衡方程也必须建立于变形后的状态以考虑变形对平衡的影响。 由于非线性问题的复杂性，利用解析方法能够得到的解答是很有限的。随着有限单元法在线性分析中的成功应用，它在非线性分析中的应用也取得了很大的进展，已经获得了很多不同类型实际问题的求解方案。 材料非线性问题的处理相对比较简单，不需要重新列出整个问题的表达格式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性分析。一般说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段，材料的状态参数被调整得满足材料的非线性本构关系，则最终得到问题的解答。几何非线性问题比较复杂，它涉及非线性的几何关系和依赖于变形的平衡方程等问题，因此，表达格式和线性问题相比，有很大的改变，这将在下一章专门讨论。这两类非线性问题的有限元格式都涉及求解非线性代数方程组，所以在本章开始对非线性代数方程组的求解作—一般性的讨论。这对下一章也是必要的准备。 正如在前面已指出的，材料非线性问题可以分为两类。一类是不依赖于时间的弹塑性问题，其特点是当载荷作用以后，材料变形立即发生，并且不再随时间而变化。另一类是依赖于时间的粘（弹、塑）性问题，其特点是载荷作用以后，材料不仅立即发生变形，而且变形随时间而继续变化，在载荷保持不变条件下，由于材料粘性而继续增长的变形称之为蠕变。另方面在变形保持不变条件下，由于材料粘性而使应力衰减称之为松弛。本章中重点...
