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梳理抛物线焦点弦的有关结论

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1 x B A y o F B A y o F 梳理抛物线焦点弦的有关结论 知识点1:若AB 是过抛物线022ppxy的焦点F 的弦。设 ,,11 yxA22, yxB,则(1)4221pxx;(2)221pyy 证明:如图, (1)若AB 的斜率不存在时, 依题意,221pxx4221pxx 若AB 的斜率存在时,设为 ,k 则2:pxkyAB,与pxy22 联立,得 042222222222pkpxkxkpxpxk .4221pxx 综上:.4221pxx (2)pyxpyx2,2222211,,22142221pyypyy 但22121,0pyyyy (2)另证:设2:pmyxAB与pxy22 联立,得 22122,02pyyppmyy 知识点2:若AB 是过抛物线022ppxy的焦点F 的弦。设 ,,11 yxA22, yxB,则(1);21pxxAB(2)设直线AB 的倾斜角为 ,则2sin2 pAB 。 证明:(1)由抛物线的定义知 ,2,221pxBFpxAF pxxBFAFAB21 (2)若,2,90210pxx则由(1)知2sin22ppAB 若pxypxkyAB2,2:,9020与设联立,得 2 B A o y F B A o y F B A o y F K 042222222222pkpxkxkpxpxk ,22221kkpxx222112kkppxxAB,而 tank, 222sin2tantan12ppAB 知识点3:若AB 是过抛物线 022ppxy的焦点F 的弦,则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 证明:过点BA、分别向抛物线的准线引垂线,垂足分别为 ,11BA、过AB 中点M 向准线引垂线,垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r .2211rMNMNBBAABFAFABr 以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 知识点4:若AB 是过抛物线 022ppxy的焦点F 的弦。过点BA、分别向抛物线的准线引垂线,垂足分别为,11BA、则01190FBA。 证明借助于平行线和等腰三角形容易证明 知识点5:若AB 是过抛物线 022ppxy的焦点F 的弦,抛物线的准线与x 轴相交于点K ,则.BKFAKF 证明:过点BA、分别作准线的垂线,垂足分别为 .11BA、 11////BBKFAA BBBFAAAFFBAFKBKA1111,而 BBAAKBKA1111 BBKBAAKA1111,而01190KBBKAA KAA1∽KBB1 KBBKAA11 3 C F B A o y B A o y F BKFAKF 知识点6:若AB 是过抛物线 ...

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