椭圆经典例题

1 椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0 ，2 ）求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2c，根据关系222cba可求出m 的值． 解：方程变形为12622 myx．因为焦点在y轴上，所以62m，解得3m． 又2c，所以2262m，5m适合．故5m． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在x轴上时，设其方程为012222babyax． 由椭圆过点03，P，知10922 ba．又ba3，代入得12 b，92 a，故椭圆的方程为1922 yx． 当焦点在y轴上时，设其方程为012222babxay． 由椭圆过点03，P，知10922 ba．又ba3，联立解得8 12 a，92 b，故椭圆的方程为198 122 xy． 例3 ABC的底边1 6BC，AC 和AB 两边上中线长之和为3 0 ，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析：（1 ）由已知可得2 0 GBGC，再利用椭圆定义求解． （2 ）由G 的轨迹方程G 、 A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程． 2 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为yx ，，由20 GBGC，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10a，8c，有6b， 故其方程为013610022yyx． （2）设yxA ，，yxG，，则013610022yyx． ① 由题意有33yyxx，代入①，得A 的轨迹方程为0132490022yyx，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541 PF，3522 PF．从椭圆定义知52221PFPFa．即5a． 从21PFPF 知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF， 可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab． ∴所求椭圆方程为1103522yx或1510322 yx． 例5 已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F...