1第四章 大数定律与中心极限定理 习题4 .1 1． 如果XXPn →，且YXPn →．试证：P{X = Y } = 1． 证：因 | X − Y | = | −(Xn − X ) + (Xn − Y )| ≤ | Xn − X | + | Xn − Y |，对任意的ε > 0，有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεYXPXXPYXPnn， 又因XXPn →，且YXPn →，有02||lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εXXPnn，02||lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εYXPnn， 则P{| X − Y | ≥ ε} = 0，取k1=ε，有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−kYXP，即11||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−kYXP， 故11||lim1||}{1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−==+∞→+∞=kYXPkYXPYXPkkI． 2． 如果XXPn →，YYPn →．试证： （1）YXYXPnn+→+； （2）XYYXPnn→． 证：（1）因 | (Xn + Yn) − (X + Y ) | = | (Xn − X ) + (Yn − Y )| ≤ | Xn − X | + | Yn − Y |，对任意的ε > 0，有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεYYPXXPYXYXPnnnn， 又因XXPn →，YYPn →，有02||lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εXXPnn，02||lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εYYPnn， 故0}|)()({|lim=≥+−++∞→εYXYXPnnn，即YXYXPnn+→+； （2）因 | XnYn − XY | = | (Xn − X )Yn + X (Yn − Y ) | ≤ | Xn − X | ⋅ | Yn | + | X | ⋅ | Yn − Y |，对任意的ε > 0，有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεYYXPYXXPXYYXPnnnnn， 对任意的h > 0，存在 M1 > 0，使得4}|{|1hMXP<≥，存在 M2 > 0，使得8}|{|2hMYP<≥， 存在 N1 > 0，当 n > N1 时，8}1|{|hYYPn<≥−， 因| Yn | = | (Yn − Y ) + Y | ≤ | Yn − Y | + | Y |，有4}|{|}1|{|}1|{|22hMYYYPMYPnn<≥+≥−≤+≥， 存在 N2 > 0，当 n > N2 时，4)1(2||2hMXXPn<⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−ε，当 n > max{N1, N2} 时，有 2244}1|{|)1(2||2||||22hhhMYPMXXPYXXPnnnn=+<+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε， 存在 N3 > 0，当 n > N3 时，42||1hMYYPn<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−ε，有 244}|{|2||2||||11hhhMXPMYYPXYYPnn=+<≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε， 则对任意的 h > 0，当 n > max{N1, N2, N3} 时，有 hh...
