概率论与数理统计答案第七章

62 第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8 只活塞环，测得它们的直径为（以m m 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ 及方差σ 2 的矩估计，并求样本方差S2。 解：μ ，σ 2 的矩估计是 6122106)(1ˆ,002.74ˆniixXnX 621086.6S。 2．[二]设X1，X1，…，Xn 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）其它,0,)()1(cxxcθxfθθ 其中 c>0 为已知，θ>1，θ 为未知参数。 （2）.,010,)(1其它xxθxfθ 其中 θ>0，θ 为未知参数。 （5） ppmxppxXPxmxmx,10,,,2,1,0,)1()(为未知参数。 解：（1）XθcθθcθcθcθdxxcθdxxxfXEθθcθθ1,11)()(1令，得cXXθ （2）,1)()(10θθdxxθdxxxfXEθ2)1(,1XXθXθθ得令 （5）E (X) = mp 令 mp = X ， 解得mXp ˆ 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211)()()( θnθnnniixxxcθxfθL 63 0lnln)(ln,ln)1(ln)ln()(ln11niiniixcnnθθdθLdxθcθnθnθL niicnxnθ1lnlnˆ （解唯一故为极大似然估计量） （2）niiθnnniixθθnθLxxxθxfθL112121ln)1()ln(2)(ln,)()()( niiniixnθxθθnθdθLd121)ln(ˆ,0ln2112)(ln。(解唯一)故为极大似然估计量。 （5） niniiixmnxnniippxmxmxXPpL11)1(}{)(11，  ),1ln()(lnln)(ln111pxmnpxpLniiniinimxi 01)(ln11pxmnpxdppLdniinii 解得 mXmnxpnii 2，（解唯一）故为极大似然估计量。 4．[四(2)] 设X1，X1，…，Xn 是来自参数为λ 的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故λˆ = X 为矩估计量。 （2）极大似然估计λnnxniiexxxλλxPλLnii !!!);()(2111， λnxλxλLniinii11!lnln)(ln 64 XλnλxλdλLdniiˆ,0)(ln1解得为极大似然估计量。 （其中),1,0,!}{...