62 第七章 参数估计 1.[一] 随机地取8 只活塞环,测得它们的直径为(以m m 计) 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ 及方差σ 2 的矩估计,并求样本方差S2。 解:μ ,σ 2 的矩估计是 6122106)(1ˆ,002.74ˆniixXnX 621086.6S。 2.[二]设X1,X1,…,Xn 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 (1)其它,0,)()1(cxxcθxfθθ 其中 c>0 为已知,θ>1,θ 为未知参数。 (2).,010,)(1其它xxθxfθ 其中 θ>0,θ 为未知参数。 (5) ppmxppxXPxmxmx,10,,,2,1,0,)1()(为未知参数。 解:(1)XθcθθcθcθcθdxxcθdxxxfXEθθcθθ1,11)()(1令,得cXXθ (2),1)()(10θθdxxθdxxxfXEθ2)1(,1XXθXθθ得令 (5)E (X) = mp 令 mp = X , 解得mXp ˆ 3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解:(1)似然函数 1211)()()( θnθnnniixxxcθxfθL 63 0lnln)(ln,ln)1(ln)ln()(ln11niiniixcnnθθdθLdxθcθnθnθL niicnxnθ1lnlnˆ (解唯一故为极大似然估计量) (2)niiθnnniixθθnθLxxxθxfθL112121ln)1()ln(2)(ln,)()()( niiniixnθxθθnθdθLd121)ln(ˆ,0ln2112)(ln。(解唯一)故为极大似然估计量。 (5) niniiixmnxnniippxmxmxXPpL11)1(}{)(11, ),1ln()(lnln)(ln111pxmnpxpLniiniinimxi 01)(ln11pxmnpxdppLdniinii 解得 mXmnxpnii 2,(解唯一)故为极大似然估计量。 4.[四(2)] 设X1,X1,…,Xn 是来自参数为λ 的泊松分布总体的一个样本,试求λ的极大似然估计量及矩估计量。 解:(1)矩估计 X ~ π (λ ),E (X )= λ,故λˆ = X 为矩估计量。 (2)极大似然估计λnnxniiexxxλλxPλLnii !!!);()(2111, λnxλxλLniinii11!lnln)(ln 64 XλnλxλdλLdniiˆ,0)(ln1解得为极大似然估计量。 (其中),1,0,!}{...