正交变换和正交矩阵

7 .3 正交变换和正交矩阵 授课题目：7.3 正交变换和正交矩阵 教学目标： 理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念，性质及其关系 授课时数：3 学时 教学重点：正交变换的性质 教学难点：正交变换的判定，正交矩阵特征值的性质 教学过程： 一、标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。 设 {n,,,21} 是n维 欧 氏 空 间 的两 个 标准 正交基 ，),,,(),,,(2121nnU （U=（ijU ）） 则12111111111(,,)1,,0,,,1( ,1,2,, )0iniinkikkn inijnnijkikkjkkknnkiljkinkikjknkikjkTUUUUijijUUU UklU UijU Ui jnijU UI    是标准正交基，有又从而 定义 7.3.1 设U 是实数域上的n 阶矩阵, 如果 TTU UUUI, 则称U 为正交矩阵. 定理7.3.1 设在 n 维欧氏空间中由标准正交基n,,,21对基12{,,,}n 的过渡矩阵是U , 那么12{,,,}n 是标准正交基的充分必要条件是U 为正交矩阵. 证明: 必要性已证. 现 证 充 分 性. 设 U 为 正交矩阵, 则TTU UUUI成 立 , 从 而12{,,,}n 是标准正交基. 例1：证明每一个n阶可逆矩阵A 都可以唯一表成A=UT 的形式，这里U 是一个正交矩阵，T 是一个上三角实矩阵且主对角线上元素。 证明：存在性，由于A 为n 阶非奇异实矩阵，故A=),,,(21n的列向量n,,,21线性无关，从而为nR 的一个基，实行单位化 令 nnnnnnnniinnnnnnttttttTRnittttttt000,,,),,,(,,,1,1,02221121112112121221122211221111的标准正交基，而为其中），，，都有（其中 从而T 也是对角线上全为实数的上三角形矩阵，由于n,,1 是标准正交基，故有),,,(21nU是一个正交矩阵，于是知A=UT 唯一性：设另有11TUA 其中1U 为正交矩阵，1T 为对角线上全是正实数的上三角形矩阵，则 11111TTOUTUUT或 即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证 ITT1 故 11,UUTT 思考题 设123,,  是欧氏空间V 的一个标准正交基,试求正交变换σ,使σ适合11123221()333  22123212()333 ...