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比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理及例题

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要点一、比例线段 1.成比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 2.比例的性质: (1)基本性质:如果 ,那么. (2)合比性质:如果 如果 要点诠释: (1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示,若单位长度不同,先化成同一单位,再求它们的比; (2)两条线段的比,没有长度单位,它与所采用的长度单位无关; (3)两条线段的长度都是正数,所以两条线段的比值总是正数. 要点二、黄金分割 1.定义: 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果,那么线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释: ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点: 如图,已知线段AB,按照如下方法作图: (1)经过点B 作 BD⊥AB,使 BD=AB. (2)连接 AD,在DA 上截取 DE=DB. (3)在AB 上截取 AC=AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释: 一条线段的黄金分割点有两个. 要点三、平行线截线段成比例 基本事实: 两条直线被一组平行线(不少于 3 条)所截,所得的对应线段成比例 已知如图,直线 l1、l2、l3是一组等距离的平行线,l4、l5是任意画的两条直线,分别于这组平行线相交于点A,B,C,D,E,F,则比例式 成立. 要点诠释: 上图的变式图形:分 A 型和 X 型; A 型 X 型 则常用的比例式:依然成立. 要点四、把已知线段 AB 五等分. 已知线段 AB,请利用尺规作图把线段 AB 五等分. 作法 1.以 A 为端点作一条射线,并在射线上依次截取线段 AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2.连结 A5B,并过点A1,A2,A3,A4分别作 A5B 的平行线,依次交 AB 于点B1,B2,B3,B4.则点B1,B2,B3,B4就 是所求作的把线段AB 五等分的点. 依据:实际上,过点A 作l∥A5B,根据平行线分线段成比例的基本事实,就可以得到如下关系式 AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5, ∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B, ∴点B1,B2,B3,B4把线段AB 五等分. 要点诠释: 在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线. 例题: 1 . (2016•兰 州 模 拟 ) 若 a:b=2:3,则下列 各 式中正 确 的式子 是( ) A. 2a=3b B. 3a=2b C. D. 【 思 路 点拨 】 根据比例的性 质 ,对 选...

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