求逆矩阵的方法

1 求逆矩阵的方法与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 （由定理2.4 给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵*A .当A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.） 定义 2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B，用 A  B 表示，并称矩阵B 与A 是等价的. （下面我们把）第i 行和第j 行的对换变换，简记为“ ， ”；把第i 行遍乘k 倍的倍乘变换，简记为“ k”；第j 行的k 倍加至第i 行上的倍加变换，简记为“ + k”. 例如，矩阵 A = 321321321cccbbbaaa 321321321cccaaabbb 321321321cccbbbaaa 321321321kckckcbbbaaa 321321321cccbbbaaa 321332211321ccckabkabkabaaa （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材） 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7 的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n 阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I 上，就可以把I 化成 A 1 .因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n  2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I 就被化成了1A.即 ( A , I )初等行变换  ( I , A 1 ) 例 1 设矩阵 A = 232311111 ③k ①，② ②+①k i j i i j 2 求逆矩阵A 1 . 解 因为 [A , I ] =100232010311001111 102010011220001111 1212510002121110001111 1212510010201012127011 12125100102010221211001 所以...