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2025年数列题型及解题方法归纳总结

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知识框架掌握了数列的基本知识,尤其是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质,掌握了经典题型的解法和数学思想法的应用,就有也许在高考中顺利地处理数列问题。一、经典题的技巧解法1、求通项公式(1)观测法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解,一般可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan(d,q 为常数)例 1、 已知{an}满足 an+1=an+2,并且 a1=1。求 an。例 1、解 an+1-an=2 为常数 ∴{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列∴an=1+2(n-1) 即 an=2n-1例 2、已知满足,而,求=?(2)递推式为 an+1=an+f(n)例 3、已知中,,求.解: 由已知可知令 n=1,2,…,(n-1),代入得(n-1)个等式累加,即(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)★阐明 只要和 f(1)+f(2)+…+f(n-1)是可求的,就可以由an+1=an+f(n)以 n=1,2,…,(n-1)代入,可得 n-1 个等式累加而求an。(3)递推式为 an+1=pan+q(p,q 为常数)例 4、中,,对于 n>1(n∈N)有,求.解法一: 由已知递推式得 an+1=3an+2,an=3an-1+2。两式相减:an+1-an=3(an-an-1)因此数列{an+1-an}是公比为 3 的等比数列,其首项为 a2-a1=(3×1+2)-1=4∴an+1-an=4·3n-1 an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3n-1 即 an=2·3n-1-1解法二: 上法得{an+1-an}是公比为 3 的等比数列,于是有:a2-a1=4,a3-a2=4·3,a4-a3=4·32,…,an-an-1=4·3n-2,把n-1个等式累加得: ∴an=2·3n-1-1(4)递推式为 an+1=p an+q n(p,q 为常数) 由 上 题 的 解 法 , 得 : ∴ (5)递推式为思绪:设,可以变形为:,想于是{an+1-αan}是公比为 β 的等比数列,就转化为前面的类型。求。 (6)递推式为 Sn与 an的关系式关 系(2)试用 n 表达 an。 ∴∴ ∴ 上式两边同乘以 2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 则{2nan}是公差为 2 的等差数列。∴2nan= 2+(n-1)·2=2n数列求和的常用措施:1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合提成几组,转化为特殊数列求和。2、错项相减法:合用于差比数列(假如等差,等比,那么叫做差比数列)即把每一项都乘以的公比,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和。3、裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。 合用于数列和(其中等差) 可 裂 项 为 :,等...

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