用均值不等式求最值的类型及方法

- 1 - 高三理应培优 （用均值不等式求最值的类型及解题技巧） 均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(222222Rbabaababba当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222Rbabaababba当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、 )(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(3333Rcbacbaabcabccba、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba 。 二、函数( )(0)bf xaxabx、图象及性质 (1)函数0)(baxbaxxf、图象如图： (2)函数0)(baxbaxxf、性质： ①值域：),2[]2,(abab ； ②单调递增区间：(,]ba ，[,)ba ；单调递减区间：(0,]ba，[, 0)ba. 三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例 1 、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。 （技巧1 ：凑项）解：21(1)2(1)yxxx 21(1)1(1)2(1)xxx 21111(1)222(1)xxxx xabab2ab2aboy - 2 - 3211131222(1)xxx3 1252， 当且仅当211(1)22(1)xxx 即2x 时，“=”号成立，故此函数最小值是52 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添 加常数、拆项（常常是拆低次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2 、求下列函数的最大值： ①23(32 )(0)2yxxx ② 2sincos (0)2yxxx 解析：①30,3202xx∴， ∴23(32 )(0)(32 )2yxxxx xx3(32 )[]13xxx， 当且仅当3 2xx 即1x  时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 （技巧2 、取平方）②0,sin0,cos02xxx∴，则0y ，欲求y 的最大值，可先求2y的最大值。 242sincosyxx222sinsincosxxx2221(sinsin2cos )2xxx22231 sinsin2cos4()2327xxx , ...