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电路微分方程解法

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第七章 二阶电路 用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路,二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路,比如两个电容(电感)串(并)联情况。  重点: 1 . 电路微分方程的建立 2 . 特征根的重要意义 3 . 微分方程解的物理意义  难点: 1 . 电路微分的解及其物理意义 2 . 不同特征根的讨论计算 7.0 知识复习 一、二阶齐次微分方程的通解形式 0'''cybyay,其特征方程为:02cbpap,特征根:aacbabp44222,1。 当特征方程有不同的实根1p 、2p 时,tptpeAeAy2121 当特征方程有相同的实根 p 时,ptetAAy)(21  当特征方程有共轭的复根jp2,1时,)sincos(21)(tAtAeeyttj 二、欧拉公式 sincosje j 2)sin()()(jeettjtj sincosjej 2)cos()()(tjtjeet 7.1 二阶电路的零输入响应 7.1.1 二阶电路中的能量振荡 在具体研究二阶电路的零输入响应之前,我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路(即 R=0,无阻尼情况)来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。 + iU0 C L C L _ (a) (b) - _ C L C L U0 i + (c) (d)图 8-1 LC 电路中的能量振荡 设电容的初始电压为0U ,电感的初始电流为零。在初始时刻,能量全部存储于电容中,电感中没有储能。此时电流为零,电流的变化率不为零(0dtdiLuuLC,0dtdi),这样电流将不断增大,原来存储在电容中的电能开始转移,电容的电压开始逐渐减小。当电容电压下降到零时,电感电压也为零,此时电流的变化率也就为零,电流达到最大值 I0,此时电场能全部转化为电磁能,存储在电感中。 电容电压虽然为零,但其变化率不为零(00dtduCIiiCLC,0dtduC),电路中的电流从 I0 逐渐减小,电容在电流的作用下被充电(电压的极性与以前不同),当电感中的电流下降到零的瞬间,能量再度全部存储在电容中,电容电压又达到,只是极性与开始相反。 之后电容又开始放电,此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反,与刚才的过程相同,能量再次从电场能转化为电磁能,直到电容电压的大小与极性与初始情况一致,电路回到初始情况。 上述过程将不断重复,电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。 可以想象,当存在耗能元件时...

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