电路微分方程解法

第七章 二阶电路 用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。  重点： 1 ． 电路微分方程的建立 2 ． 特征根的重要意义 3 ． 微分方程解的物理意义  难点： 1 ． 电路微分的解及其物理意义 2 ． 不同特征根的讨论计算 7.0 知识复习 一、二阶齐次微分方程的通解形式 0'''cybyay，其特征方程为：02cbpap，特征根：aacbabp44222,1。 当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tptpeAeAy2121 当特征方程有相同的实根 p 时，ptetAAy)(21  当特征方程有共轭的复根jp2,1时，)sincos(21)(tAtAeeyttj 二、欧拉公式 sincosje j 2)sin()()(jeettjtj sincosjej 2)cos()()(tjtjeet 7.1 二阶电路的零输入响应 7.1.1 二阶电路中的能量振荡 在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即 R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。 + iU0 C L C L _ (a) (b) - _ C L C L U0 i + (c) (d)图 8-1 LC 电路中的能量振荡 设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。此时电流为零，电流的变化率不为零（0dtdiLuuLC，0dtdi），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值 I0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。 电容电压虽然为零，但其变化率不为零（00dtduCIiiCLC，0dtduC），电路中的电流从 I0 逐渐减小，电容在电流的作用下被充电（电压的极性与以前不同），当电感中的电流下降到零的瞬间，能量再度全部存储在电容中，电容电压又达到，只是极性与开始相反。 之后电容又开始放电，此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反，与刚才的过程相同，能量再次从电场能转化为电磁能，直到电容电压的大小与极性与初始情况一致，电路回到初始情况。 上述过程将不断重复，电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。 可以想象，当存在耗能元件时...