直线与圆、圆与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点； 2、直线与圆相切 dr 有一个交点(切点）； 3、直线与圆相交 dr 有两个交点； drd=rrd 二、切线的判定定理与性质 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即： MNOA且MN 过半径OA外端 ∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（如上图） ①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 例1、 在 中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以 A 为圆心，当半径r 多长时所作的⊙A 与直线BC 相切？相交？相离？ 解题思路：作 AD⊥BC 于D 在中，∠B=30° ∴ 在中，∠C=45° ∴ CD=AD BC=6cm ∴ ∴ NMAOPBAOBACDO∴ 当时，⊙A 与BC 相切；当时，⊙A 与BC 相交；当时，⊙A 与BC 相离。 例2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=• ∠A． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若 CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径． 解题思路：（1）要说明 CD 是否是⊙O 的切线，只要说明 OC 是否垂直于 CD，垂足为C，•因为C 点已在圆上． 由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ② AB 是直径 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt△OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10． 三、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： PA 、 PB 是的两条切线 ∴PAPB PO 平分BPA （证明） 四、圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O 中， 弦 AB 、CD 相交于点P， PODCBAPBAO ∴PA PBPC PD （相似） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O...
