直线与圆经典题型 题型一：对称性求最值 例题：已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0 和y 轴上各找一点P 和Q，使△MPQ 的周长最小． 解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M 关于 l 的对称点M1（5，1）．同样容易求得点M 关于 y 轴的对称点M2（﹣3，5）． 据 M1 及 M2 两点可得到直线M1M2 的方程为 x+2y﹣7=0． 得交点P（，）． 令 x=0，得到 M1M2 与 y 轴的交点Q（0，）． 解方程组 x+2y﹣7=0， x﹣2y+2=0， 故点P（，）、Q（0，）即为所求． 1221MMPQQMPMPQMQMPCMPQ 题型二：反射光线问题 已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0 和l2：2x+y+3=0 的交点M，且射到x 轴上一点N（1，0）后被x 轴反射． （1）求点M 关于x 轴的对称点P 的坐标； （2）求反射光线所在的直线l3 的方程． （3）求与l3 距离为的直线方程． 【分析】（1）联立方程组，求出M 的坐标，从而求出P 的坐标即可； （2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN 的方程，根据对称性求出直线方程即可； （3）设出与l3 平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可． 【解答】解：（1）由得，∴M（﹣2，1）． 所以点M 关于x 轴的对称点P 的坐标（﹣2，﹣1）． …（4 分） （2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2． 直线MN 的倾斜角为α，则直线l3 的斜斜角为180°﹣α.，所以直线l3 的斜率． 故反射光线所在的直线l3 的方程为：．即．…（9 分） 解法二： 因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2． 根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3． 所以反射光线所在的直线l3 的方程就是直线PN 的方程． 直线PN 的方程为：，整理得：． 故反射光线所在的直线l3 的方程为．…（9 分） （3）设与l3 平行的直线为 ， 根据两平行线之间的距离公式得：，解得b=3，或， 所以与l3为：，或．…（13 分） 题型三：直线恒过点问题 已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0． （Ⅰ）证明：直线恒过定点M； （Ⅱ）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A，B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程． 【分析】（Ⅰ）直线方程按m 集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M； （Ⅱ）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A，B 两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB 面积的表达式，利用基本不等式...
