相似三角形及其判定 一、知识导航 1、相似三角形定义 2、相似三角形判定 二、典例精讲: 精讲一、相似三角形定义: 定义:对应角相等、对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示,读作“相似于”,相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). 注意: ①记两个三角形相似时,和记两个三角形全等一样,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 ②全等是特殊的相似,相似比是 1:1.全等要求形状相同与大小相等,而相似只是形状相同 ③由相似的定义,得相似三角形对应角相等,对应边成比例. ④相似三角形有传递性: 若222111∽CBACBA,333222∽CBACBA,则111CBA 333CBA 精讲二、相似三角形的判定: 1 、预备定理:平行于三角形一边的直线与另外两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2、相似三角形的判定定理 ★判定定理 1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似. 例1 、(1 )如图,,,B C D 三点共线,且,,ABBD DEBD ACCE. 求证:ABCCDE∽. (2 )如图,,B C D 三点共线,且BDACE ,求证:ABCCDE∽. 变式: 1 、如图,ABC中,6 0ACB,点P 是 ABC内一点,使得CPABPCAPB,求证:CPBAPC∽. 2 、已知 PQR是等边三角形,1 2 0APB,指出图中的相似三角形并证明. 例2 、(1 )已知:如图, ABC的高BEAD,相交于点 F ,求证:FEBFFDAF. FABCDE (2 ) 如图,已知在ABCRt中,9 0ACB,CD 是ABCRt的高. 求证:2CDAD BD;2BCAB BD;2ACAD AB. CABD 变式:如图,已知在ABCRt中,9 0ACB,CD 是ABCRt的高.若 E 是 AC 的中点,ED的延长线与CB 的延长线相交于点 F .求证:CFBFDF2. ★判定定理2 、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 例3 、(1 )如图,已知ACAEABAD. 则:①ACBADE∽;②ADCAEB∽正确的是 ;相似依据是 . (2 )如图,四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是边长为2 的正方形. ①求证:AEF∽ CEA;②求ACBAFB的值. (3 )如图,ABC是等边三角形,D 为CB ...