1 矩阵的LU 分解 1.1 LU 分解原理 定理：设ACnn，如果 A 的顺序主子式 ᵃ11 ≠0, |ᵄ11ᵄ12ᵄ21ᵄ22| ≠0,… ，|ᵄ11ᵄ12ᵄ21ᵄ22…ᵄ12…ᵄ22⋮⋮ᵄᵅ−11ᵄᵅ−12⋮⋯ᵄᵅ−1ᵅ−1| ≠0 则存在唯一的主对角线上元素全为 1 的下三角矩阵L 与唯一的上三角矩阵 U，使得 A=LU. 证明：对矩阵A 的阶数使用数学归纳法. 显然，当 n=1 时，ᵃ11=1 ∙ ᵃ11 就是唯一的分解式。现假定对 n-1 阶矩阵，定理的结论成立。对 A 进行分块 A =(ᵆᵈ−ᵼᵳᵼᵳᵽᵇᵳᵂᵂ) 其中ᵳᵼ, ᵳᵽ ∈ ᵆᵂ−ᵼ.由于 n-1 阶矩阵 ᵆᵈ−ᵼ的 k 阶顺序主子式就是 A 的 k 阶主子式（k=1,2，… ，n-2），故它们都不为零.从而由归纳法假设，ᵆᵂ−ᵼ 有唯一的 LU 分解 ᵆᵈ−ᵼ= ᵇᵈ−ᵼᵇᵈ−ᵼ 其中ᵇᵈ−ᵼ的主对角线上的元素都 1.由于 |ᵆᵈ−ᵼ|=|ᵄ11ᵄ12ᵄ21ᵄ22…ᵄ12…ᵄ22⋮⋮ᵄᵅ−11ᵄᵅ−12⋮⋯ᵄᵅ−1ᵅ−1|=|ᵇᵈ−ᵼᵇᵈ−ᵼ| ≠0 所以ᵇᵈ−ᵼ及ᵇᵈ−ᵼ是n-1 阶可逆矩阵 先假设已有 A=LU，其中 L=(ᵇᵈ−ᵼ0ᵯᵄ1)， U= (ᵇᵈ−ᵼᵳᵳᵄᵈᵈᵈ) ᵳ，ᵳ ∈ ᵆᵈ−ᵼ是待定向量。作乘积 ᵇᵇ = (ᵇᵈ−ᵼᵇᵈ−ᵼᵇᵈ−ᵼᵳᵳᵄᵇᵈ−ᵼᵈᵈᵈ + ᵳᵄᵳ) =(ᵆᵈ−ᵼᵳᵼᵳᵽᵇᵳᵈᵈ)=A 则ᵳ，ᵳ必须满足 ᵇᵈ−ᵼᵳ = ᵳᵼ，ᵳᵄᵇᵈ−ᵼ= ᵳᵽᵇ，ᵈᵈᵈ + ᵳᵄᵳ = ᵳᵈᵈ 注意到ᵇᵈ−ᵼ及ᵇᵈ−ᵼ都是n -1 阶可逆矩阵，则由上式可惟一确定 ᵳ = ᵇᵈ−ᵼ−ᵼ ᵳᵼ，ᵳᵄ = ᵳᵽᵇᵇᵈ−ᵼ−ᵼ , ᵈᵈᵈ = ᵳᵈᵈ −ᵳᵄᵳ 这就证明了 A 的 LU 分解的存在性和唯一性. 1.2 LU分解算法 当 n 阶矩阵满足定理的条件时，可以用初等变换的方法求出 L 和 U. 因为当 A=LU 时，由于 L 可逆，故必存在可逆矩阵 P 使得 ᵇᵇ = ᵇ 即 PA=PLU=U.也就是说，可以先对 A 施行行的初等变换得出上三角矩阵U，而矩阵 P可以通过对单位矩阵I进行相同的行初等变换得出，即 P(A,I) =(PA,PI) =(U,P) 于是ᵆ = ᵇ−ᵼᵇ,为保持P为下三角矩阵（从而ᵇ−ᵼ也是下三角矩阵），在进行行初等变换时，不能进行行的对换，上行的倍数应加到下行的对应元. 1.3 LU分解用于解方程组 矩阵的三角分解在求解线性方程组时十分方便.如对线性方程组 ᵆᵉ = ᵈ, 设ᵆ = ᵇᵇ. 我们先求解方程组 ᵇᵉ= ᵈ. 由于ᵇ是下三角矩阵，则解向量ᵉ可以通过依次...
