矩阵范数详解

1 《周国标师生交流讲席0 1 0 》 向 量 和 矩 阵 的 范 数 的 若 干 难 点 导 引 (二 ) 一． 矩 阵 范 数 的 定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。 最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m nAC可以视为一个mn维的向量（采用所谓“拉直”的变换），所以，直观上可用mnC上的向量范数来作为m nAC的矩阵范数。比如 在1l  范数意义下，111||||||mnijijAa 12tr()HA A； （1.1） 在2l -范数意义下，12211||||||mnFijijAa ， （1.2） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F”，这样一个矩阵范数，称为 Frobenius范数，或 F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3 个条件。 那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于AB与的“大小”关系。 定义 1 设m nAC，对每一个 A ，如果对应着一个实函数( )N A ，记为||||A，它满足以下条件： （1）非 负 性：|||| 0A ； （1a）正 定性：|||| 0m nAOA （2）齐 次 性：|||| ||||||,AAC； （3）三 角 不等式 ：|| A |||| ||||||||,m nABABBC  则 称( ) ||||N AA为 A 的广 义矩阵范数。进 一步 ，若 对,,m nn lm lCCC 上的同 类 广 义矩阵范数|| ||• ，有 （4）（矩阵相乘的）相容性：|| A |||| ||||||||ABAB， n lBC ， 则 称( ) ||||N AA为 A 的矩阵范数。 我 们现在来验证前 面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我 们这里只 考 虑（1.2）,把较 容易的（1.1）的验证留 给 同 学们， 三 角 不等式 的验证。按 列分块 ，记1212(,,,),( ,,,)nnAa aaBb bb。 222112||)(,),(),(||||||FnnFbababaBA 2222222211||||||||||||nnbababa 22121222||||||||||||||||nnabab  2222122121222122||||||||2 |||| |||||||| ||||||||||||nnnnaaababbb 对上式 中 第 2 个括 号内 的诸 项 ，应用 Cauchy 不等式 ，则 有 ...