离散数学习题解+代数系统

1 离散数学习题解 代数系统 习题四 第四章代数系统 1．设I 为整数集合。判断下面的二元关系是否是I 上的二元运算 a）+={（x，y），z|x，y，zI 且z=x+y} b）－={（（x，y），z）|x，y，zI 且z=x－y} c）×={（（x，y），z）|x，y，zI 且z=x×y} d）/={（（x，y），z）|x，y，zI 且z=x/y} e）R={（（x，y），z）|x，y，zI 且z=xy} f）={（（x，y），z）|x，y，zI 且z= y x } g）min = {（（x，y），z）|x，y，zI 且z=max（x，y）} h）min = {（（x，y），z）|x，y，zI 且z=min（x，y）} i）GCD = {（（x，y），z）|x，y，zI 且z= GCD（x，y）} j）LCM={（（x，y），z）|x，y，z∈I 且z= LCM（x，y）} [解] a）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I2→I 是I 上的一个二元运算。 b）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I2→I 是I 上的一个二元运算。 c）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知 x：I2→I 是I 上的一个二元运算。 d）不是：例如若 x=5，y=6，则 z=x/y=5/6I；当 y=0 时 z=x|y=x/0 无定义。 e）不是。例如若 x=2，y= -2，则 z=xy=2 –2=221=I41  ；若 x=y=0，则 z=xy=0，则z=I2x； g）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知 max：I2→I 是I 上的一个二元运算。 h）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知 min：I2→I 是I 上的一个二元运算。 i）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知 GCD：I2→I 是I 上的一个二元运算。 j）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知 LCD：I2→I 是I 上的一个二元运算。 注：两个整数a 和 b 的最大公约数GCD（a，b）定义为同时除尽 a 和 b 的正整数中最大 2 的一个；两个数a 数b 的最小公倍数LCM（a，b）定义为同时是a 和b 的正倍数中最小的一个。 2．设X={x | x=2n，n∈N} 问普通数的加法是否是X 上的二元运算？普通数的乘法呢？ [答] 普通的加法运算不是X 是X 上的二元运算，因为存在着x1=2∈X，x2=22∈X，使x1+x2=2+22=6X。 普通的乘法运算是X 上的二元运算，因为对于任意的x1=1n2 X，x2=2n2X，这里n1，n2N，都有x1·x2=1n2·2n2=21nn2X（因为n1+n2∈N）。 3．设是代数系统，*是X 上的二元运算，若有元素 el∈X，使Xx ，有el*x=x，则称 ...