空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式

1 空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式 前言 空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k 时为直线,0 时为平面曲线. 本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明. 1. 空间曲线的曲率和挠率的定义 1.1 准备知识—空间曲线的伏雷内标架 给出2c 类空间曲线( )c 和( )c 上一点 p .设曲线( )c 的自然参数表示是 ( ),rr s 其中s是自然参数，得 drdsrα 是一单位向量.α 称为曲线( )c 上 p 点的单位切向量. 由于1α，则 αα ， 即 rr . 在α上取单位向量 2 αrβαr， (1) β 称 为 曲 线 ( )c 上 p 点 的 主 法 向 量 . 再 作 单 位 向 量 γαβ， γ称 为 曲 线 ( )c 上 p 点 的 副 法 向 量 . 我 们 把 两 两 正 交 的 单 位 向 量, ,α β γ 称 为 曲 线 上 p 点 的 伏 雷 内 (Frenet)标 架 . 1.2 空 间 曲 线 的 曲 率 我 们 首 先 研 究 空 间 曲 线 的 曲 率 的 概 念 .在 不 同 的 曲 线 或 者 同 一 条 曲 线 的 不 同 点 处 ， 曲 线 弯 曲 的 程 度 可 能 不 同 .例 如 半 径 较 大 的 圆 弯 曲 程 度 较 小 ， 而 半 径 较 小的 圆 弯 曲 程 度 较 大 .为 了 准 确 的 刻 画 曲 线 的 弯 曲 程 度 ， 我 们 引 进 曲 率 的 概 念 . 要 从 直 观 的 基 础 上 引 出 曲 率 的 确 切 定 义 ， 我 们 首 先 注 意 到 ， 曲 线 弯 曲 的 程 度越 大 ， 则 从 点 到 点 变 动 时 ， 其 切 向 量 的 方 向 改 变 的 越 快 .所 以 作 为 曲 线 在 已 知 一曲 线 段 PQ的 平 均 弯 曲 程 度 可 取 为 曲 线 在 P、 ...