空间距离的求法

高中数学知识专题系列haiPage 1 of 7 空间距离的求法 一、直接法 根据已知条件，直接作出（或找出）所要求的距离，并进行求解。 例1．如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF//CD，AM=EF，且AD=1，PA=2，求异面直线AB 与PC 之间的距离。 解： PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD 又 CD⊥AD， ∴CD⊥平面PAD，故侧面PCD⊥侧面PAD 又 AE⊥PD，PD=侧面PCD∩侧面PAD ∴AE⊥侧面PCD，∴AE⊥PC 又 EF∥CD∥AB，且AM=EF ∴AMFE 为平行四边形，故MF∥AE，∴MF⊥PC 又AB⊥AD，AB⊥PA，∴AB⊥平面PAD，故AB⊥AE ∴MF⊥AB，即MF 为异面直线AB 与PC 的公垂线 又 AD=1，PA=2，∴PD= 5 ∴1 22 555PAADMFAEPD 故异面直线AB 与PC 之间的距离是2 55 点评：这里直接找出了公垂线MF，要注意两点：公垂线与两异面直线都相交；公垂线与两异面直线都垂直。 例2．已知平面 和平面 交于直线l，P 是空间一点，PA⊥ ，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A 在 内的射影与点B 在 内的射影重合，则点P 到l的距离为____________. 解：若A 在平面 上的射影为C 则AC⊥ ，PB⊥ ，AC∥PB 同理，若B 在平面 上的射影也为C 则PA⊥ ，BC⊥ ，PA∥BC ∴四边形APBC 是一个平行四边形 又 AC⊥ ，BC，∴AC⊥BC 故∠ACB 是l 二面角的平面角，∴ ∴四边形PACB 是一个矩形，故可正确地作出图形（如图） l⊥平面ACBP，l⊥PC ∴PC 即为所求P 到l的距离，PC 是边长为1，2 的矩形的对角线， ∴PC5，故填 5 点评：求点到直线的距离，就是直接从该点向直线作垂线，如果垂足的位置不易确定，有时也可借助三垂线定理来作。 例3．如图，在棱长为4的正方体1111ABCDA BC D中，点P在棱CC1上，且14CCCP，求点P 到平面1ABD 的距离。 解：连结1BC ， 在平面11BCC B 中，过点P 作1PQBC于点Q， AB⊥平面11BCC B ，PQ平面11BCC B ， ∴PQ⊥AB，PQ⊥平面11ABC D F E M D B C A P C B P A l α β A B A1 D Q P C B1 C1 D1 高中数学知识专题系列haiPage 2 of 7 ∴PQ 即为点P 到平面1ABD 的距离 在Rt△1C PQ 中，∠190C PQ  ，∠145PC Q  ，13PC  ∴322PQ ，∴点P 到平面1ABD 的距离为322 点评：在直接作点到平面的距离时，要注意确定垂足的位置，以便于计算，本题中将平...