竞赛数学数论专题VIP专享

数论 数论素有“数学皇后”的美称。由于其形式简单，意义明确，所用知识不多而又富于技巧性，千姿百态，灵活多样。有人曾说：“用以发现数学天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。”因此在理念的国内外数学竞赛中，几乎都离不开数论问题，使之成为竞赛数学的一大重要内容。 1 . 基本内容 竞赛数学中的数论问题主要有： （1） 整除性问题； （2） 数性的判断（如奇偶性、互质性、质数、合数、完全平方数等）； （3） 余数问题； （4） 整数的分解与分拆； （5） 不定方程问题； （6） 与高斯函数[ ]x 有关的问题。 有关的基本知识： 关于奇数和偶数有如下性质： 奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数. 两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）. 若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇数的个数必为偶数个. 奇数奇数=奇数；奇数偶数=偶数；偶数偶数=偶数. 若干个整数之积为奇数，则这些数必为奇数；若干个整数之积为偶数，则这些数中至少有一个偶数. 若 a 是整数，则 a 与 a 有相同的奇偶性；若a 、b 是整数，则ab与 ab奇偶性相同。 关于整数的整除性： 设, ,a b c 是整数，则○1 a a ；○2 若,a b b c ，则 a c ；○3 若,a b b c ，则对任意整数,m n ，有a bmcn. 若在等式11mniiiiab中，除某一项外，其余各项都能被c 整除，则这一项也能被c整除. 若( ,)1a b ，且a bc ，则a c .若( ,)1a b ，且,a b b c ，则ab c . 设p是素数，若p ab ，则p a 或p b . 关于同余： 若0(m od)am，则m a . (m od)abm,a b 分别被m 除，余数相同. 同余具有反身性:(m od)aam、对称性:若(m od)abm，则(mod)bam、传递性：若,(m od)ab bcm，则(m od)acm. 2 . 方法评析 数论问题综合性强，以极少的知识就可生出无穷的变化。因此数论问题的方法多样，技巧性高，富于创造性和灵活性。在竞赛数学中，解决数论问题的常用方法有因式分解法、估值法、调整法、构造法、反证法、奇偶分析法等等。 2 .1 因式（数）分解 例 1 证明无穷数列 10001，100010001，„„中没有素数。 证明：设11000100011nna   个，则 4484 (1)41011101010=101nnna 当 n为偶数，设...