数论 数论素有“数学皇后”的美称。由于其形式简单,意义明确,所用知识不多而又富于技巧性,千姿百态,灵活多样。有人曾说:“用以发现数学天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。”因此在理念的国内外数学竞赛中,几乎都离不开数论问题,使之成为竞赛数学的一大重要内容。 1 . 基本内容 竞赛数学中的数论问题主要有: (1) 整除性问题; (2) 数性的判断(如奇偶性、互质性、质数、合数、完全平方数等); (3) 余数问题; (4) 整数的分解与分拆; (5) 不定方程问题; (6) 与高斯函数[ ]x 有关的问题。 有关的基本知识: 关于奇数和偶数有如下性质: 奇数+奇数=偶数;奇数+偶数=奇数;偶数+偶数=偶数. 两个数之和是奇(偶)数,则这两个数的奇偶性相反(同). 若干个整数之和为奇数,则这些数中必有奇数,且奇数的个数为奇数个;若干个整数之和为偶数,则这些数中若有奇数,奇数的个数必为偶数个. 奇数奇数=奇数;奇数偶数=偶数;偶数偶数=偶数. 若干个整数之积为奇数,则这些数必为奇数;若干个整数之积为偶数,则这些数中至少有一个偶数. 若 a 是整数,则 a 与 a 有相同的奇偶性;若a 、b 是整数,则ab与 ab奇偶性相同。 关于整数的整除性: 设, ,a b c 是整数,则○1 a a ;○2 若,a b b c ,则 a c ;○3 若,a b b c ,则对任意整数,m n ,有a bmcn. 若在等式11mniiiiab中,除某一项外,其余各项都能被c 整除,则这一项也能被c整除. 若( ,)1a b ,且a bc ,则a c .若( ,)1a b ,且,a b b c ,则ab c . 设p是素数,若p ab ,则p a 或p b . 关于同余: 若0(m od)am,则m a . (m od)abm,a b 分别被m 除,余数相同. 同余具有反身性:(m od)aam、对称性:若(m od)abm,则(mod)bam、传递性:若,(m od)ab bcm,则(m od)acm. 2 . 方法评析 数论问题综合性强,以极少的知识就可生出无穷的变化。因此数论问题的方法多样,技巧性高,富于创造性和灵活性。在竞赛数学中,解决数论问题的常用方法有因式分解法、估值法、调整法、构造法、反证法、奇偶分析法等等。 2 .1 因式(数)分解 例 1 证明无穷数列 10001,100010001,„„中没有素数。 证明:设11000100011nna 个,则 4484 (1)41011101010=101nnna 当 n为偶数,设...