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第1章单自由度系统的自由振动题解

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1 习 题 1-1 一单层房屋结构可简化为题1-1 图所示的模型,房顶质量为m,视为一刚性杆;柱子高h,视为无质量的弹性杆,其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解:由于两根杆都是弹性的,可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mgk 其中 为两根杆的静形变量,由材料力学易知  =324mghEJ 则 k =324EJh 设静平衡位置水平向右为正方向,则有 "m xkx  所以固有频率3n24mhEJp  1-2 一均质等直杆,长为 l,重量为W,用两根长 h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程,并求出振动固有周期。 解:给杆一个微转角 2a =h 2Fcos=mg 由动量矩定理: ahamgamgFaMmlIMI822cossin12122 题1-1 图 题1-2 图  Fsin 2 h mg  2 其中 12c o ssi n hlgaphamgmln22222304121 ghalgahlpTn3π23π2π222 1-3 求题1-3 图中系统的固有频率,悬臂梁端点的刚度分别是k1 和k3,悬臂梁的质量忽略不计。 解:悬臂梁可看成刚度分别为k1 和k3 的弹簧,因此,k1 与k2 串联,设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3 并联,设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4 串联,设总刚度为k。即为 21211kkkkk,212132kkkkkk,4241213231421432421kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk )(42412132314214324212kkkkkkkkkkmkkkkkkkkkp 1-4 求题1-4 图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J1、J2 和J3 是三个轴段截面的极惯性矩,I 是圆盘的转动惯量,各个轴段的转动惯量不计,材料剪切弹性模量为G。 解: 111/lGJk  (1) 222/lGJk  (2) 333/lGJk  (3) )/(23323223lJlJJGJk (4) )(/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312lJlJIllJJlJJlJJGPIkkPnn知)由( 题1-3 图 题1-4 图 3 1-5 如题1-5 图所示,质量为m2 的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动,鼓轮绕轴的转动惯量为I,忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力,求此系统的固有频率。 解:此系统是一个保守系统,能量守恒.如图题中的广义坐标 x,设系统的振动方程为: sin()xAwta 则系统运动过程中速度表达式为:cos()xAwwta 系统最大位移和速度分别为:maxmaxxAxAx 系统在运动...

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