第1章单自由度系统的自由振动题解VIP专享

1 习 题 1-1 一单层房屋结构可简化为题1-1 图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mgk 其中 为两根杆的静形变量，由材料力学易知  =324mghEJ 则 k =324EJh 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m xkx  所以固有频率3n24mhEJp  1-2 一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长 h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角 2a ＝h 2Fcos＝mg 由动量矩定理： ahamgamgFaMmlIMI822cossin12122 题1-1 图 题1-2 图  Fsin 2 h mg  2 其中 12c o ssi n hlgaphamgmln22222304121 ghalgahlpTn3π23π2π222 1-3 求题1-3 图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1 和k3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k1 和k3 的弹簧，因此，k1 与k2 串联，设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3 并联，设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4 串联，设总刚度为k。即为 21211kkkkk，212132kkkkkk，4241213231421432421kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk )(42412132314214324212kkkkkkkkkkmkkkkkkkkkp 1-4 求题1-4 图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J1、J2 和J3 是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。 解： 111/lGJk  （1） 222/lGJk  （2） 333/lGJk  （3） )/(23323223lJlJJGJk （4） )(/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312lJlJIllJJlJJlJJGPIkkPnn知）由（ 题1-3 图 题1-4 图 3 1-5 如题1-5 图所示，质量为m2 的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。 解：此系统是一个保守系统，能量守恒.如图题中的广义坐标 x，设系统的振动方程为： sin()xAwta 则系统运动过程中速度表达式为：cos()xAwwta 系统最大位移和速度分别为：maxmaxxAxAx 系统在运动...