第 二 章 函 数 的 敛 散 性 与 极 限 第 一 节 数 列 的 极 限 极 限 的 概 念 是 高 等 数 学 最 基 本 的 一 个 概 念 ， 以 后 将 介 绍 的 导 数 ， 定 积分 等 重 要 的 概 念 都 是 建 立 在 极 限 概 念 之 上 的 。 先 介 绍 数 列 （ 特 殊 函 数 ） 极限 的 概 念 。 一、实例 具 体 分 析 某 一 数 列 的 视 角 有 多 个 ， 但 数 列 一 般 项 的 变 化 趋 势 无 疑 是 最值 得 重 视 的 。 高 中 数 学 都 是 通 过 实 例 引 入 数 列 极 限 概 念 的 。 观 察 下 列 数 列 ： (1) ；，，：,13221}1{nnnn 递 增 无 限 接 近 于 1 (2) ,1,31,21,1}1{nn ：； 递 减 无 限 接 近 于 0 （ 3） 1111{}1,,,1,23nnnn：交错无 限 接 近 于 0 n 无限增大时,以上数列与某一常数无限接近。 (4) ;,1,1,1,1:})1{(n交错 (5) .2,,8,4,2:}2{nn无 限 增大 （ 6） { 2 }:2,4,8,, 2.nn 无 限 递 减 n 无限增大时以上数列无上述变化趋势。 将 数 列 的 这 一 变 化 趋 势 用 普 通 语 言 描 述 出 来 就 是 中 学 所 介 绍 的 极 限 的直 观 描 述 性 定 义 二、概念 1 .定 性 定 义 ： 对 于 数 列 {nx }， 如 果 存 在 一 个 常 数 a ， 当 n 无 限 增 大 时(记 为n)，nx 与 常 数 a 无 限 接 近 （ 就 把 常 数 a 叫 做 数 列 {nx }的 极 限 。 记 作nlimnx = a；有 时 也 可 记 做 ：nx a（n） . 这 个 定 义 无 疑 是 正 确 的 。 但 缺 乏 数 学 形 式 的 精 确 的 、 量 化 的 刻 画 ， 比如 ： 什 么叫n 无 限 增 大 时nx 与 常 数a 无 限 接 近 ？所 谓“无 限 接 近 ”即它们的 距离可 以 任意的 小， 用 数 学 语 言 说就 是 ：axn 可 以 任意的 小。 以 数列 (2)为 例 ： 就 是 当n 无 限 增 大 时 ， {n1 } 的 项 与0 的 差的 绝对 值 nnxn1010可以任意的小。比如， 要使10010 nx， 即要10011 n， 只要100n； 要使1001010...
