56 第 7 章 参 数 估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体 X 服从二项分布),(pNB,10 P,nXXX21,是其一个样本,那么矩估计量pˆ XN . 2、 设 总 体)p,1(B~X, 其 中 未 知 参 数 01p , XXXn12,, 是 X 的样本, 则 p的 矩 估 计 为_ n1iiXn1_, 样本 的 似 然 函 数 为_iiX1n1iX)p1(p__。 3、 设 12,,,nXXX 是 来 自 总 体 ),(N~X2的 样 本, 则 有 关 于 及 2的 似 然 函 数212(,,; ,)nL XXX _2i2)X(21n1ie21__。 二、计算题 1、设总体 X 具有分布密度( ;)(1), 01f xxx,其中1是未知参数,nXXX,,21为一个样本,试求参数 的矩估计和极大似然估计. 解:因10101α1α1αdxxdxxxXEa)()()(2α1α2α1α102 |ax 令2α1αˆˆ)(XXE XX112αˆ为 的矩估计 因似然函数1212(,,;)(1)()nnnL x xxx xx niiXnL1α1αln)ln(ln,由niiXnL101ααlnln得, 的极大似量估计量为)ln(ˆniiXn11α 2、设总体 X 服从指数分布 ,0( )0,xexf x 其他 ,nXXX,,21是来自 X 的样本,(1) 57 求 未 知 参 数 的 矩 估 计 ;( 2) 求 的 极 大 似 然 估 计 . 解 :( 1) 由 于1()E X , 令 11XX ,故 的 矩 估 计 为1ˆX (2)似 然 函 数112( ,,,)niixnnL x xxe 111lnlnln0niininiiiLnxdLnnxdx 故 的 极 大 似 然 估 计 仍 为1X。 3、设总体 2~0,XN,12,,,nXXX 为取自X 的一组简单随机样本,求2 的极大似然估计; [解] (1)似然函数222112ixniLe221 2222niixn e 于是2221lnln2ln222niixnnL 22241ln122niidLnxd , 令2ln0dLd,得2 的极大似然估计:2211niiXn . 4、设总体 X 服从泊松分布( )P , 12,,,nXXX 为取自X 的一组简单随机样本, ( 1) 求未 知 参 数 的 矩 估 计 ;( 2) 求 的 极 大 似 然 估 计 . 解 :( 1) 令ˆ()E XXX,...