有关抛物线焦点弦问题的探讨 过抛物线(p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A、B两点 结论 1：结论 2：若直线 L 的倾斜角为，则弦长证 : (1) 若 时 , 直 线 L 的 斜 率 不 存 在 ， 此 时 AB 为 抛 物 线 的 通 径 ,(2)若时,设直线 L 的方程为：即 代入抛物线方程得由韦达定理由弦长公式得结论 3： 过焦点的弦中通径长最小 的最小值为,即过焦点的弦长中通径长最短.结论 4： 结论 5： (1) (2) x1x2= 证 结论 6：以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 AA1， 过 B 点作准线的垂线 BB1， 过 M 点作准线的垂线 MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 故结论得证 结论 7：连接 A1F、B1 F 则 A1FB1F 同理 A1FB1 F结论 8：（1）AM1BM1 （2）M1FAB （3）（4）设 AM1 与 A1F 相交于 H ，M1B 与 FB1相交于 Q 则 M1，Q，F ，H 四点共圆（5）证：由结论（6）知 M1 在以 AB 为直径的圆上 AM1BM1 为直角三角形， M1 是斜边 A1 B1 的中点 M1FAB AM1BM1 所以 M1，Q，F,H 四点共圆， 结论 9： （1）O、B1 三点共线 （2）B，O，A1 三点共线 （3）设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B1，则 BB1平行于 X 轴（4）设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A1，则 AA1平行于 X 轴证：因为，而所以所以三点共线。同理可征（2）（3）（4）结论 10： 证：过 A 点作 AR 垂直 X 轴于点 R，过 B 点作 BS 垂直 X 轴于点 S，设准线与轴交点为 E,则 同理可得 结论11： 证: (4) x1x2= 假设 结论 12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦 AB、CD，则 推广与深化：深化 1：性质 5 中，把弦 AB 过焦点改为 AB 过对称轴上一点 E（a,0），则有． 证：设 AB 方程为 my=x-a，代入．得：，∴． 深化 2： 性质 12 中的条件改为焦点弦 AB 不垂直于 x 轴，AB 的中垂线交 x 轴于点 R，则 证明：设 AB 的倾斜角为 a，直线 AB 的方程为：， 代入得：， 即：． 由性质 1 得，又设 AB 的中点为 M，则， ∴， ∴． 深化 3：过抛物线的焦点 F 作 n 条弦，且它们等分周角 2π，则有 （1）为定值； （2）为定值． 证明：（1）设抛物线方程为． 由题意， 所以， 同理 易知， ∴． （2）∵， ∴， ∴．
