排序不等式及证明

四、排序不等式（一）概念【9】：设有两组实数 （1） （2）满足 （3） （4）另设 （5）是实数组（2）的一个排列，记逆序积和乱序积和似序积和那么 且等式成立当且仅当 或者 证明【9】：1，预备知识 引理 1（Abel 变换） 设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令 那么 事实上： 引理 2 设实数组（2）满足（4）式，实数组（5）是实数组（2）的任意一个排列，那么显然有 引理 3 设实数组（2）满足（4），那么 若存在使等号成立当且仅当 2，证明 首先： 不妨设 那么由引理 2，有 则由 Abel 变换以及，得到 所以 即 同理，设 则可证 要使得等号成立，即 则对有 那么有下列两种情形： 存在，使得 这时必有 从而 所以 由引理 3 得