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2025年424燕尾定理.题库教师版

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例 题 精讲燕尾定理:在三角形中,,,相交于同一点,那么.上述定理给出了一种新的转化面积比与线段比的手段,由于和的形状很象燕子的尾巴,因此这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中均有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一种三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联络的途径。通过一道例题证明一下燕尾定理:如右图,是上任意一点,请你阐明:S3S1 S4S2EDCBA【解析】三角形与三角形同高,分别以、为底,因此有;三角形与三角形同高,;三角形与三角形同高,,因此;综上可得。 【例 1】(第七届但愿杯五年级一试试题)如图,三角形的面积是 ,是的中点,点在上,且,与交于点.则四边形的面积等于 . ABCDEF【解析】措施一:连接,根据燕尾定理,,, 设份,则份,份,份,如图所标因此燕尾定理措施二:连接,由题目条件可得到,,因此,,而.因此则四边形的面积等于.【巩固】如图,已知,,三角形的面积是,求阴影部分面积。【解析】题中条件只有三角形面积给出详细数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以初步判断这道题不应当通过面积公式求面积。 又由于阴影部分是一种不规则四边形,因此我们需要对它进行改造,那么我们需要连一条辅助线,(法一)连接,由于,,三角形的面积是 30,因此,.根据燕尾定理,,, 因此,,因此阴影部分面积是. (法二)连接,由题目条件可得到,,因此, , 而.因此阴影部分的面积为.【巩固】如图,三角形的面积是, 在上,点在上,且,,与 交于点.则四边形的面积等于 .FEDCBA【解析】连接,根据燕尾定理,,, 设份,则份,份,份,份,因此【巩固】如图,已知,,与相交于点,则被提成的部分面积各占 面积的几分之几?13.54.59211213OEDCBA【解析】连接,设份,则其他部分的面积如图所示,因此份,因此四部分按从小到大各占面积的【巩固】(年香港圣公会数学竞赛)如图所示,在中,,,与相交于点,若的面积为 ,则的面积等于 . 【解析】措施一:连接.由于,,因此,.由蝴蝶定理知,,因此.措施二:连接设份,根据燕尾定理标出其他部分面积,因此【巩固】如图,三角形的面积是 ,,,与相交于点,请写出这 部分的面积各是多少?【解析】连接,设份,则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示,因此,,,【巩固】如图,在上,在上,且,,与交于点.四边形的面积等于,则三角形的面积 .【解析】连接,根据燕尾定理,,, 设份 , 则份...

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