2025年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题

北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参照解答（ 4 月 9 日 ）选 择 题 答 案123456AABDCD填 空 题 答 案123456782489.52504101一、选择题1．集合 A={2, 0, 1, 7}，B={x| x2−2A, x−2A}，则集合 B 旳所有元素之积为（A）36． （B）54． （C）72． （D）108．答：A．解：由 x2−2A，可得 x2=4，2，3，9，即 x=2，，，3．又由于 x−2A，因此 x2，x3，故 x= −2，，，−3．因此，集合 B={−2, −, , −, ，−3}．因此，集合 B 旳所有元素旳乘积等于(−2)(−)()(−)()(−3)=36．2．已知锐角△ABC 旳顶点 A 到它旳垂心与外心旳距离相等，则 tan()=（A）． （B）． （C）1． （D）．答：A．解：作锐角△ABC 旳外接圆，这个圆旳圆心 O 在形内，高 AD，CE 相交于点 H，锐角△ABC 旳垂心 H 也在形内．ABCDOHKE连接 BO 交⊙O 于 K，BK 为旳直径. 连接 AK，CK．由 于 AD ， CE 是 △ ABC 旳 高 ， ∠ KAB ， ∠ KCB 是 直 径 BK 上 旳 圆 周 角 ， 因 此∠KAB=∠KCB=90°．于是 KA//CE，KC//AD，因此 AKCH 是平行四边形．因此 KC=AH=AO=BK．在直角△KCB 中，由 KC=BK，得∠BKC=60°，因此∠BAC=∠BKC=60°．故 tan()= tan30°=．3．将正奇数旳集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第 n 组 2n−1 个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数位于第 k 组中，则 k 为（A）31． （B）32． （C）33． （D）34．答：B.解：数是数列 an= 2n −1 旳第 1009 项．设位于第 k 组，则1+3+5+…+(2k−1)≥1009，且 1+3+5+…+(2k−3)＜1009．即 k 是不等式组旳正整数解，解得 k =32，因此在第 32 组中．4．如图，平面直角坐标系 x-O-y 中，A, B 是函数 y =在第I象限 旳 图 象 上 两 点 ， 满 足 ∠ OAB=90° 且 AO = AB ， 则 等 腰 直 角△OAB 旳面积等于（A）． （B） ． （C）． （D）．答：D．解：依题意，∠OAB=90°且 AO = AB，∠AOB=∠ABO=45°．过点 A 做 y 轴垂线交 y 轴于点C，过点 B 做 y 轴平行线，交直线 CA 于点 D．易见△COA≌△DAB．设点 A(a, )，则点 B(a +, − a)．ABOyxy =ABOyxy =DC由于点 B 在函数 y =旳图象上，因此(a +)(− a)=1，即− a2=1．因此 S△ABC =OA2=(+ a2) =．5．已知 f (x) = x5...