全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：6 月 30 日上午 9:00—11:30）题号一二总分9101112得分评卷人复核人注意： 1．本试卷共 12 小题，满分 150 分；2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线；4．不得使用计算器．一、填空题（每题 8 分，共 64 分，成果须化简）1.设三个复数 l,i,z 在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则 z=____．2.设 n 是正整数，且满足 n5=438427732293，则 n=____．3.函数 f(x)=|sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)|的最小正周期=____．4.设点 P,Q 分别在函数 y=2x和 y=log2x 的图象上，则|PQ|的最小值=____．5.从 l,2,…,10 中随机抽取三个各不相似的数字，其样本方差 s2≤l 的概率=____6.在边长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC1相切，则小球半径的最大值=____．7.设 H 是△ABC 的垂心，且 3HA+4HB+5HC=0，则 cos∠AHB=____．8.把 l,2,…,n2按照顺时针螺旋方式排成 n 行 n 列的表格 Tn，第一行是 l,2,…,n.例如：T3=.设在 T100的第 i 行第 j 列，则(i,j)= ．二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分）9.如图所示，设 ABCD 是矩形，点 E,F 分别是线段 AD,BC 的中点，点 G 在线段 EF上，点 D,H 有关线段 AG 的垂直平分线 l 对称．求证：∠HAB=3∠GAB．ABCDEFGHl10. 设O 是 坐 标 原 点 ， 双 曲 线C ：上 动 点M处的 切 线 交 C 的 两 条 渐 近 线 于A,B 两 点 ： (1) 求 证 ：△ AOB 的 面 积 S 是 定 值 .(2) 求 △ AOB 的 外 心 P 的 轨 迹方 程 。11. (1) 求证：对于任意实数x,y,z均有≥．(2) 与 否 存 在 实 数 k>， 使 得 对 于 任 意 实 数 x,y,z下式 成 立 ？≥试 证 明 你 的 结 论 ．12. 在正边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色求此图形中三边颜色都相似的三角形的最小个数．
