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2025年高考数学复习名师知识点总结数列求和及数列的综合应用

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数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】 高考对本节知识重要以解答题的形式考察如下两个问题:1.以递推公式或图、表形式给出条件,求通项公式,考察学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力,属中等题.2.通过度组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题,考察等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用,属中等题.1. 数列求和的措施技巧(1)分组转化法有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几种等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并.(2)错位相减法这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的措施,这种措施重要用于求数列{an·bn}的前 n 项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.(3)倒序相加法这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的措施,也就是将一种数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加时若有公式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和.(4)裂项相消法运用通项变形,将通项分裂成两项或 n 项的差,通过相加过程中的互相抵消,最终只剩余有限项的和.这种措施,合用于求通项为的数列的前 n 项和,其中{an}若为等差数列,则=.常见的拆项公式:①=-;②=(-);③=(-);④=(-).2. 数列应用题的模型(1)等差模型:假如增长(或减少)的量是一种固定量时,该模型是等差模型,增长(或减少)的量就是公差.(2)等比模型:假如后一种量与前一种量的比是一种固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.(3)混合模型:在一种问题中同步波及等差数列和等比数列的模型.(4)生长模型:假如某一种量,每一期以一种固定的百分数增长(或减少),同步又以一种固定的详细量增长(或减少)时,我们称该模型为生长模型.如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等.(5)递推模型:假如容易找到该数列任意一项 an与它的前一项 an-1(或前 n 项)间的递推关系式,我们可以用递推数列的知识来处理问题.考点一 分组转化求和法例 1 等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一种数,且 a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.解 (1)当 a1=3 时,不合题意;当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意;当 a1=10 时,不合题...

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